Для студентов более важным и более привычным средством для изучения многомерных пространств становится уже
математический анализ. Это раздел математики, изучающий функции, графики, и их свойства непрерывности, гладкости, взятие производных и интегралов. Вначале изучают
математический анализ функций одной действительной (вещественной) переменной, и этот математический анализ даёт новые геометрические объекты и образы для 1-мерного и 2-мерного пространства: он позволяет описать распределение плотности в пространстве (1), потока в пространстве (1), он позволяет описать кривые линии (2), касательные к кривым (2), площади, охваченные кривыми (2), и т. п. Дальше студенты приступают (в разном порядке в разных вузах) к
математическому анализу нескольких действительных переменных, и к анализу одной комплексной переменной (повсеместно называется
теорией функций комплексной переменной - ТФКП). Вот тут и происходит обобщение на 2-мерные и
-мерные пространства.
Отдельный раздел матанализа, читаемый как отдельный курс или несколько отдельных курсов, составляют
дифференциальные уравнения. Они тоже бывают 1-мерные и
-мерные, причём даже в нескольких смыслах:
обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) относятся к 1-мерному пространству аргументов искомой функции, но могут быть заданы в 1-мерном или
-мерном пространстве значений (в последнем случае они называются
системами обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ)); а
дифференциальные уравнения в частных производных относятся уже к
-мерному пространству аргументов.
С использованием знаний, полученных в курсах матанализа и дифференциальных уравнений, можно начать раздел
дифференциальную геометрию. Он продолжает ту же тему, хотя с большим акцентом именно на геометрическом смысле, в то время как в математическом анализе в центре внимания был численный смысл.
Ещё одно геометрическое ответвление математики - это
алгебраическая геометрия. Она основана на аналитической геометрии, математическом анализе и алгебре. Она акцентирует алгебраический смысл геометрических фигур. Например, она обращает внимание на то, что кривая может быть задана уравнением
-й степени (выше я написал уравнения прямой - уравнения 1-й степени), и делает отсюда выводы о форме этой кривой, о числе точек её самопересечения, о точках пересечения с другими кривыми и поверхностями, и т. п.
Топология - ещё один геометрический раздел математики - уже смотрит на такие вещи, как точки самопересечения сами по себе. Это не результат вычислений, а исходный предмет. Это геометрия, очищенная от численных соотношений, и акцентирующая всё внимание на том, как точки, кривые, поверхности и т. п. расположены относительно друг друга. Например, топология изучает способы описать замкнутую кривую вокруг точки ("накинуть петлю на гвоздик"). При этом иногда оказывается, что даже размерность пространства не имеет большого значения. Например, способы описать замкнутую кривую вокруг точки в 2-мерном пространстве принципиально не отличаются от способов описать замкнутую кривую вокруг прямой линии в 3-мерном пространстве ("гвоздик" всё равно не позволяет "петле" соскочить).
-- 01.04.2014 19:07:17 --Многие другие разделы математики тоже имеют дело с пространствами самых разных размерностей, хотя могут обращать внимания на их геометрический смысл немного. Но всё равно, их тоже надо считать разделами математики, изучающими многомерные объекты и пространства.
Упомяну ещё об одной вещи. Точно так же, как аналитическая геометрия изучает объекты в 2- и 3-мерном пространстве, а линейная алгебра - аналогично в
-мерном пространстве, дальше идёт такой раздел математики, как
функциональный анализ, изучающий
бесконечномерные пространства. И это тоже ещё не конец истории, потому что на основе функционального анализа тоже развиваются многие другие разделы математики, которые пользуются его знаниями как инструментом.
И наконец, математика может смотреть на один и тот же предмет, как относящийся к разным пространствам. Например, линия на плоскости может считаться как функция на 1-мерном пространстве; как кривая в 2-мерном пространстве; как элемент (точка) конечно- или бесконечномерного пространства всевозможных линий; и т. д.
и спроецировать. Некоторым удобнее представлять себе его вращающимся, то есть угол поворота равен 
Эту задачу нужно решить двумя способами: графически на чертеже, и вычислительно в формулах. Для формул построить графики, чтобы "ощутить", что когда увеличивается и уменьшается.
-мерной. Постепенно, с опытом, у вас уже появится и некоторое "четырёхмерное воображение" (для него стоит решить ~ 100 задач на 4-мерные объекты, и ~ 10 задач на 
(это сейчас "модный" и "нормальный" прием).
)
Кроме того, произвольную плоскость в пространстве можно задать уравнением
Аналогично, в линейной алгебре считается, что 
-мерная (гипер)плоскость в 
Аналогично, обобщаются понятия точки, прямой, полуплоскости, луча, отрезка, шара и сферы, и т. п. Из этих объектов можно строить более сложные фигуры, сочетая их по правилам, вытекающим уже из "формульных", алгебраических свойств. Например, можно показать, что простейшим многогранником в 
-вершинный многогранник, все тройки вершин которого образуют треугольные 2-грани (примеры такого многогранника в 2- и 3-мерном пространстве - треугольник и тетраэдр; в общем случае он называется "симплекс").
