[Анализ] Диффиренциал -> Интеграл.

[nikvic]

ewert в сообщении #834745 писал(а):

nikvic в сообщении #834741 писал(а):

Это не определение, а теорема.

Это если и теорема, то совсем другая -- Барроу. А Ньютон-Лейбниц -- он совсем о другом (хоть и внешне похожем). Это совсем разные утверждения.

Как мне кажется, у ТС есть пробел - в понимании дифференциала как функции двух переменных ("главная линейная часть приращения...").
О том и пел

[chem_victory]

nikvic в сообщении #834853 писал(а):

ewert в сообщении #834745 писал(а):

nikvic в сообщении #834741 писал(а):

Это не определение, а теорема.

Это если и теорема, то совсем другая -- Барроу. А Ньютон-Лейбниц -- он совсем о другом (хоть и внешне похожем). Это совсем разные утверждения.

Как мне кажется, у ТС есть пробел - в понимании дифференциала как функции двух переменных ("главная линейная часть приращения...").
О том и пел

Ну, $df(x,h)=f'(x)h$.
А в чем искать связь с сабжем?

Кстати, верно ли я понимаю суть диф. уравнений с разделяющимися переменными.

Пусть $f(x)dx=g(y)dy$. (1)
Очевидно, $ y=y(x).$
Пусть $dF(x)=f(x)dx$, $dG(y(x))=g(y(x))dy(x)=d\widetilde{G}(x)$
Т.е все части уравнения (1) зависят от x:
$dF(x)=d\widetilde{G}(x)$

$d(F(x)-\widetilde{G}(x))=0$
По определению неопределенного интеграла:
$F(x)-\widetilde{G}(x))=\int0dx + C$ (2)
Вспоминая определения $F(x), \widetilde{G}(x)$, видим, что:

$F(x)=\int f(x)dx + C_{1}, \widetilde{G}(x)=\int g(y(x))dy(x)+C_{2}$

Подставим в (2), получим:

$\int f(x)dx+\int g(y(x))dy(x)=C_{0}$

[nikvic]

chem_victory в сообщении #834884 писал(а):

Ну, $df(x,h)=f'(x)h$.

Эта запись подтверждает мои сомнения: слева - дифференциал функции 2-х переменных, справа - произведение какой-то другой функции от одной переменной и тождественной функции от другой

[provincialka]

В стандартном определении интеграла (определенного, конечно) он рассматривается как оператор, примененный к функции. Поэтому $dx$ рассматривается как некий "довесок", почти как закрывающая скобка. Каюсь, я, например, часто его опускаю (в теории). Это интеграл первого рода, интеграл по мере. Однако в "обычном" интеграле спрятан еще и интеграл второго рода, интеграл от дифференциальной формы.
При выходе в пространство большей размерности и искривлении области интегрирования эти интегралы "расходятся", образуют два разных понятия.

[chem_victory]

provincialka в сообщении #834894 писал(а):

В стандартном определении интеграла (определенного, конечно) он рассматривается как оператор, примененный к функции. Поэтому $dx$ рассматривается как некий "довесок", почти как закрывающая скобка. Каюсь, я, например, часто его опускаю (в теории). Это интеграл первого рода, интеграл по мере. Однако в "обычном" интеграле спрятан еще и интеграл второго рода, интеграл от дифференциальной формы.
При выходе в пространство большей размерности и искривлении области интегрирования эти интегралы "расходятся", образуют два разных понятия.

Познавательно, весьма :). Правда я с насущими проблемами еще не разобрался, куда мне интегралы по формам..

nikvic в сообщении #834893 писал(а):

chem_victory в сообщении #834884 писал(а):

Ну, $df(x,h)=f'(x)h$.

Эта запись подтверждает мои сомнения: слева - дифференциал функции 2-х переменных, справа - произведение какой-то другой функции от одной переменной и тождественной функции от другой

Ну, диффиренциал от функции отдной переменной - функция двух.
Что написано выше - определение, а не тождество, что-то вроде того:
$df(x,h)\equiv f'(x)h $

[provincialka]

chem_victory, вам же сказали, что ваше равенство неверное. Зачем вы его снова переписываете? Разве $h$ - аргумент функции $f$?

[chem_victory]

provincialka в сообщении #834898 писал(а):

chem_victory, вам же сказали, что ваше равенство неверное. Зачем вы его снова переписываете? Разве $h$ - аргумент функции $f$?

Извиняюсь, забыл скобку

$(df(x))(h)=f'(x)h$

Касаемо диф. уравнения с разделяющими переменными, почему мы можем навесить интегралы?(взять интеграл от левой и правой части).

[nikvic]

provincialka в сообщении #834894 писал(а):

В стандартном определении интеграла (определенного, конечно) он рассматривается как оператор, примененный к функции. Поэтому $dx$ рассматривается как некий "довесок", почти как закрывающая скобка.

В данном случае это - способ указания связанной переменной квантора.
Хорошо приспособленный под синтаксис замены переменной интегрирования.

[provincialka]

nikvic, да, конечно. Я все это объясняю студентам. Но на первом курсе они все равно не понимают, ни что такое дифференциал, ни что стоит под интегралом. Для утилитарных целей (посчитать) можно рассматривать $dx$ как удобное обозначение, упрощающее применение интегрирования по частям и замену переменных. То, что $f(x)dx$ это именно дифференциальная форма становится ясно позже, при переходе к другим интегралам.

[nikvic]

provincialka в сообщении #834903 писал(а):

Я все это объясняю студентам. Но на первом курсе они все равно не понимают, ни что такое дифференциал, ни что стоит под интегралом.

А на втором забывают и это

(Оффтоп)

Только что беседовал с коллегой. Средний возраст кафедры - 62 года...

[ewert]

nikvic в сообщении #834893 писал(а):

дифференциал функции 2-х переменных,

Это не дифференциал функции 2-х переменных, а дифференциал -- это функция 2-х переменных

[provincialka]

ewert, наверное, тогда лучше было так написать: $(df)(x,h)$. Впрочем, это вопрос соглашения, пишем же мы $dx^2$ вместо $(dx)^2$

chem_victory в сообщении #834900 писал(а):

Касаемо диф. уравнения с разделяющими переменными, почему мы можем навесить интегралы?(взять интеграл от левой и правой части).

Потому что интеграл, по сути, применяется именно к дифференциально форме.

[ewert]

provincialka в сообщении #834917 писал(а):

наверное, тогда лучше было так написать: $(df)(x,h)$

Иногда так и пишут, но обычно первые скобки всё-таки опускают. Да, это вопрос соглашения.