[Анализ] Диффиренциал -> Интеграл.

[chem_victory]

Доброго времени суток, уважаемые.
Помогите разобраться(вопрос глуп, но я что-то никогда и не задумывался):
Как из равенства $dy(x) = f'(x)dx.$ Следует, что $y(b)-y(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Я всегда рассматривал это как равенство дифференциалов двух функций, т.е

$\int_{a}^{b} dy(x) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

что меня как-то смущает, ведь одна из них определяется другой..
Вариантов много, один из них:
Пусть имеется диф. отображение на $[a,b]$, $f: X \rightarrow Y.$
Тогда определено отображение дифференциала, по определению(если x - независимая):
$d_{x}f(dx): dx \rightarrow f'(x)dx.$

Т.е $dy(x) = f'(x)dx.$

Отсюда, по определению неопределенного интеграла:
$y(x) = \int f'(x)dx=F(x)+C, C\in R$, где $F(x)$ - произвольная первообразная.


Т.е функции равны на области задания, берем нужные аргументы:
$y(a) = F(a)+C$

$y(b) = F(b)+C$

По определению опр. интеграла: $\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b)-F(a)$, где $F(x)$ - произвольная первообразная.

Тогда:
$y(b)-y(a) = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Верно ли я понимаю суть?

[provincialka]

chem_victory в сообщении #834720 писал(а):

По определению опр. интеграла: $\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b)-F(a)$, где $F(x)$ - произвольная первообразная.

1. Это не определение.
2. Чем здесь $F$ отличается от $y$?

[chem_victory]

provincialka в сообщении #834724 писал(а):

chem_victory в сообщении #834720 писал(а):

По определению опр. интеграла: $\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b)-F(a)$, где $F(x)$ - произвольная первообразная.

1. Это не определение.
2. Чем здесь $F$ отличается от $y$?

1)В книжке Демидович, Кудрявцев "Краткий курс высшей математики" такое определение.
Если вы намекаете, на определение через разбиения, то далее там доказывается их эквивалентность.
2)Хм, ничем

[provincialka]

1. Дело авторов, но все-таки первообразная существует не для всех интегрируемых функций. И обобщать такое определение трудно.
2. А в чем тогда вопрос?

[ewert]

chem_victory в сообщении #834720 писал(а):

Отсюда, по определению неопределенного интеграла:

По определению определённого интеграла отсюда ничего не следует и следовать не может, ибо определённый интеграл (в противоположность неопределённому) равен по определению пределу интегральных сумм, которые непосредственно с дифференциалами никак не связаны. А чтобы связать -- придётся хоть сколько-то, да попыхтеть, просто игрой значками тут не отделаешься. Впрочем, пыхтение не очень уж суровое: всё сводится к использованию теоремы Лагранжа (о конечных приращениях) внутри тех интегральных сумм.

[chem_victory]

provincialka в сообщении #834731 писал(а):

1. Дело авторов, но все-таки первообразная существует не для всех интегрируемых функций. И обобщать такое определение трудно.
2. А в чем тогда вопрос?

1) Согласен.
2) Предлгаете сразу брать $y$ в роли первообразной, но меня смущает очень что$ dy$ определяется через $f'(x)dx$. Какая-то тавтология..
Я всегда рассматривал это как равенство дифференциалов двух функций, т.е

$\int_{a}^{b} dy(x) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

что меня как-то смущает, ведь одна из них определяется другой..

Это ведь неверно?

[nikvic]

chem_victory в сообщении #834735 писал(а):

меня смущает очень что $dy$ определяется через $f'(x)dx$. Какая-то тавтология..

Это не определение, а теорема.
В упрощённых курсах надлежит воспринимать как верное утверждение.

[ewert]

nikvic в сообщении #834741 писал(а):

Это не определение, а теорема.

Это если и теорема, то совсем другая -- Барроу. А Ньютон-Лейбниц -- он совсем о другом (хоть и внешне похожем). Это совсем разные утверждения.

[chem_victory]

Можете написать, как правильно, т.е почему, из равенства

$dy(x) = f'(x)dx.$ Следует, что $y(b)-y(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

[ewert]

chem_victory в сообщении #834751 писал(а):

Можете написать, как правильно, т.е почему, из равенства

$dy(x) = f'(x)dx.$ Следует, что $y(b)-y(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Могу. Не следует. Это утверждение даже и неверно (пусть это и несущественно на фоне всего остального).

[chem_victory]

ewert в сообщении #834756 писал(а):

chem_victory в сообщении #834751 писал(а):

Можете написать, как правильно, т.е почему, из равенства

$dy(x) = f'(x)dx.$ Следует, что $y(b)-y(a) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

Могу. Не следует. Это утверждение даже и неверно (пусть это и несущественно на фоне всего остального).

Пусть $ f \in \mathbb{R}[a,b]$ (инт. по Риману).

Тогда $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ , где $ F(x)$ - произвольная первообр. // основная теорема из Вики.

$dy=f(x)dx $ // опр. диффернциала.

Почему в качестве, $ F(x)$ можно взять $y(x)$ ?
Только не надо отвечать "а почему нельзя?", я потому и спрашиваю, что сам не могу понять (а именно: меня смущает что $dy$ определяется через $f'(x)dx$, т.е это не просто равенство двух функций, а именно определение).

*исправил

[ewert]

chem_victory в сообщении #834760 писал(а):

$dy=f'(x)dx $

Почему в качестве, $ F(x)$ можно взять $y(x)$ ?

Потому что нельзя. У Вас игрек фактически совпадает с эф-маленьким, а Вы зачем-то его отождествляете с Эф-большим.

Но даже и после исправления -- так просто нельзя будет. Вы патологически игнорируете определение определённого интеграла; ну -- вольному воля, но тогда и на успех рассчитывать не приходится.

[chem_victory]

Ок, последний вариант (с достаточными условиями):

Пусть $dy(x)=f(x)dx$, $f(x) \in C[a,b]$. (1)

Тогда $f(x)$ -- интегрируема по Риману, а значит:

$\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b) - F(a)$, $F(x) $ -- произвольная первообразная. (2)

Из (1) видим, что в качестве $F(x)$ можно взять $y(x)$, что и делаем.

Как итог (если f непрерывна на $[a,b]$):
$(dy=f(x)dx) => (\int_{a}^{b}dy=y(b)-y(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx)$

Ткните, если наврал.
Спасибо.

[ewert]

chem_victory в сообщении #834779 писал(а):

Тогда $f(x)$ -- интегрируема по Риману, а значит:

$\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b) - F(a)$, $F(x) $ -- произвольная первообразная.

Не "значит" -- интеграл Римана сам по себе никак с первообразными не связан. Т.е. само по себе это Ваше утверждение теперь наконец верно; но это -- утверждение теоремы Ньютона-Лейбница, совсем нетривиальной теоремы (хоть и простой).

[chem_victory]

ewert в сообщении #834838 писал(а):

chem_victory в сообщении #834779 писал(а):

Тогда $f(x)$ -- интегрируема по Риману, а значит:

$\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b) - F(a)$, $F(x) $ -- произвольная первообразная.

Не "значит" -- интеграл Римана сам по себе никак с первообразными не связан. Т.е. само по себе это Ваше утверждение теперь наконец верно; но это -- утверждение теоремы Ньютона-Лейбница, совсем нетривиальной теоремы (хоть и простой).

Да, забыл написать, что ссылался именно туда.
Благода за дискус -- полегчало.