Inequali

[fibonacci]

Если x,y,z>0 и 1/x + 1/y + 1/z =1 тогда докажите неравенства (1- 1/1+x^2)*(1- 1/1+y^2)*(1- 1/1+z^2) > 1/2

[mihailm]

fibonacci в сообщении #833164 писал(а):

...тогда докажите неравенства...

А сколько у вас тут неравенств?

[Руст]

По видимому имеется ввиду:
$S=(1-\frac{1}{1+x^2})(1-\frac{1}{1+y^2})(1-\frac{1+z^2})>\frac 12.$
$\frac{1}{S}=(1+\frac{1}{x^2})(1+\frac{1}{y^2})(1+\frac{1}{z^2})$.
Из сравнения средних (геометрического с арифметическим и арифметического с квадратичным)
получается $S\ge \frac{9^3}{10^3}=0.729.$

[Sergic Primazon]

fibonacci в сообщении #833164 писал(а):

Если x,y,z>0 и 1/x + 1/y + 1/z =1 тогда докажите неравенства (1- 1/1+x^2)*(1- 1/1+y^2)*(1- 1/1+z^2) > 1/2

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$$

$$(1-\frac{1}{1+x^2})(1-\frac{1}{1+y^2})(1-\frac{1}{1+z^2}) >\frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{x^2})(1+\frac{1}{y^2})(1+\frac{1}{z^2})<1+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=2$$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

fibonacci
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.