Помогите разобраться в задаче про конденсаторы

[afalina]

Конденсаторы, электрическая емкость которых 2 мкф и 10 мкф, заряжают до напряжения 5 В каждый, а затем «плюс» одного из них подключают к «минусу» другого и соединяют свободные выводы резистором. Какое количество теплоты выделится в резисторе?

В комментариях к решению задачи сказано:


"При решении этой задачи обычны следующие ошибки:
– из равенства значений напряжения между пластинами конденсаторов делают вывод, что перетекания зарядов после замыкания ключа не происходит; в действительности, как и в предыдущей задаче, здесь наблюдается перетекание заряда;
– из того, что конденсаторы соединяют разноименно заряженными пластинами, делается заключение, что это последовательное соединение, и соответственно находится общая емкость конденсаторов после соединения, в действительности после соединения их левые пластины имеют заряд одного знака, а правые – противоположного, т.е.конденсаторы оказываются соединенными параллельно."

Почему здесь параллельное соединение? Ведь это больше похоже на последовательное.

Заранее спасибо)

[Munin]

На самом деле, это о другом.

Когда берут два конденсатора, и соединяют последовательно, то поскольку конденсаторы в начальный момент не заряжены, для них выполняется свойство, что заряд "между ними" равен нулю. Под этим зарядом я подразумеваю суммарный заряд на обкладке одного конденсатора, подключённой к другому, и на обкладке другого конденсатора, подключённой к первому. Поскольку электростатически эти обкладки изолированы от всей остальной электрической цепи, то заряд на них сохраняется (если не считать утечку), и поэтому начальное значение этого заряда будет оставаться таким же во все последующие моменты времени.

Здесь схема составлена таким образом, что заряд "между конденсаторами" изначально не равен нулю. Не будет он равен нулю и в конце, когда произойдёт разрядка. Поэтому конденсаторы нельзя просто учитывать как ёмкость в последовательном соединении. Но и считать их параллельным соединением тоже смыслу немного.

[nikvic]

Munin в сообщении #818310 писал(а):

Поэтому конденсаторы нельзя просто учитывать как ёмкость в последовательном соединении.

В такой схеме двуполюсники соединены и последовательно, и параллельно - это чисто "графская" терминология.
Токи одинаковы (последовтельно), напряжения, после соединения, тоже (параллельность).

[afalina]

Спасибо вам еще раз за помощь.
У меня есть решение этой задачи, оно для параллельного соединения.
И мне просто интересно,а возможно ли её решить для последовательного?
К сожалению не смогла прикрепить изображение с решением.

[Toucan]

afalina в сообщении #818351 писал(а):

К сожалению не смогла прикрепить изображение с решением.

И хорошо, что не смогли. По правилам форума все формулы должны набираться в $\TeX$, и замена их картинкой запрещена.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

[EEater]

Да, после замыкания свободных выводов резистором это параллельное соединение.
Решать, опираясь на сохранение заряда.
Заряд каждого по отдельности найти легко. Заряд после соединения - сумма зарядов, учитывая, что слагаемые имеют противоположные знаки.
Емкость 12 мкФ, значит, конечное напряжение рассмчитывается.
Началльные и конечную энергии найдете.

[Munin]

EEater в сообщении #818407 писал(а):

Да, после замыкания свободных выводов резистором это параллельное соединение.

Вас не затруднит схемку привести? :-)

[EEater]

Munin в сообщении #818434 писал(а):

EEater в сообщении #818407 писал(а):

Да, после замыкания свободных выводов резистором это параллельное соединение.

Вас не затруднит схемку привести?

Попробую.

[profrotter]

Соединяли уже два конденсатора: моё сообщение и вся тема разумеется.

-- Пт янв 24, 2014 14:41:33 --

EEater, тут нет параллельного соединения: все три элемента цепи соединены последовательно. При анализе переходного процесса следует учитывать специфические начальные условния.

[EEater]

profrotter в сообщении #818624 писал(а):

EEater, тут нет параллельного соединения: все три элемента цепи соединены последовательно. При анализе переходного процесса следует учитывать специфические начальные условния.

Вы правы, но ведь условие задачи предполагает, что переходные процессы можно считать закончившимися. А в этом случае резистор - просто проводник (ток не течет).

[profrotter]

После первого соединения распределение зарядов на конденсаторах не изменяется (это рассматривали в отдельной теме). Поэтому сразу рассматриваем вторую коммутацию. Цепь после коммутации описывается уравнением:

$$iR+\frac{1}{C_1}\int idt+\frac{1}{C_2}\int idt=0$$

с начальными условиями $u_1(0),u_2(0)$. Выполнив преобразование Лапласа, запишем:

$$I(p)R+I(p)\frac{1}{pC_1}-\frac{u_1(0)}{p}+I(p)\frac{1}{pC_2}-\frac{u_2(0)}{p}=0.$$

Обозначив $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$ или $C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ - результирующая ёмкость при последовательном соединении ёмкостных элементов $C_1,C_2$, $\tau=RC$ - постоянная времени, получим

$$I(p)=\frac{C(u_1(0)+u_2(0))}{1+p\tau},$$

откуда

$$i(t)=\frac{C}{\tau}(u_1(0)+u_2(0))e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{u_1(0)+u_2(0)}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}.$$

Напряжения на ёмкостных элементах:

$$u_1(t)=u_1(0)-\frac{1}{C_1}\int\limits_0^t idt=u_1(0)-\frac{C}{C_1}(u_1(0)+u_2(0))(1-e^{-\frac{t}{\tau}}),$$

$$u_2(t)=u_2(0)-\frac{1}{C_2}\int\limits_0^t idt=u_2(0)-\frac{C}{C_2}(u_1(0)+u_2(0))(1-e^{-\frac{t}{\tau}}).$$

После "разрядки" для напряжений на каждом из ёмкостных элементов получим:

$$u_1(\infty)=u_1(0)-\frac{C}{C_1}(u_1(0)+u_2(0)),$$

$$u_2(\infty)=u_2(0)-\frac{C}{C_2}(u_1(0)+u_2(0)).$$

Для абсолютных величин зарядов:

$$Q_1(\infty)=C_1u_1(\infty)=C_1u_1(0)-C(u_1(0)+u_2(0)),$$

$$Q_2(\infty)=C_2u_2(\infty)=C_2u_2(0)-C(u_1(0)+u_2(0)).$$

Выводы:
1. После разрядки $u_1(\infty)+u_2(\infty)=0$ (легко получить непосредственной подстановкой записаных выражений). То есть результирующее напряжение после разрядки на последовательном соединении ёмкостных элементов равно нулю. Никакого "якобы параллельного соединения" тут я не обнаруживаю. Ни графски, ни безграфски.
2. Суммарный заряд на "изолированных обкладках" $Q_1(\infty)-Q_2(\infty)=Q_1(0)-Q_2(0)$. Ну это ЗСЭ, о котором писал Munin.

Для решения задачи следует переписать уравнение из п.1. для зарядов. Тогда уравнения из п.1 и п.2 дадут систему, в результате решения которой получим $Q_1(\infty),Q_2(\infty)$. (Или в п.2 перейти к напряжениям.) Потом разбираться с энергиями.

[Munin]

profrotter в сообщении #819616 писал(а):

Ну это ЗСЭ, о котором писал Munin.

ЗСЗ?

[profrotter]

ЗСЗ конечно же.

[EEater]

profrotter, зачем так сложно? На то существуют законы сохранения.
До замыкания:
$Q_1 =C_1 U$, $Q_2 =C_2 U$
После замыкания:
$Q'_1 =C_1 U'$, $Q'_2 =C_2 U'$
И:
$Q_1 +Q_2 =Q'_1 -Q'_2$ (ЗСИ).
Из уравнений находится $U'$. А значит, энергия в каждом из конденсаторов.
Начальные энергии тоже известны. Разность - то, что ушло в резистор.

[profrotter]

EEater в сообщении #819746 писал(а):

profrotter, зачем так сложно?

Почему сразу сложно? О ходе решения задачи я сказал после слова "Выводы". И там всё просто. Остальная же часть сообщения имеет целью продемонстрировать, что цепь описывается интегро-диференциальным уравнением, соответствующим именно последовательно соединнёным элементам, свойства цепи характеризуются результирующей ёмкостью последовательно соединённых ёмкостных элементов (определяет постоянную времени цепи). Статический режим же после разрядки характеризуется равенством нулю напряжения на результирующем конденсаторе, образованном последовательным соединением исходных.

-- Вт янв 28, 2014 19:41:59 --

Я считаю, что вот это утверждение не очевидно:

afalina в сообщении #818292 писал(а):

в действительности после соединения их левые пластины имеют заряд одного знака, а правые – противоположного

А приведённые мною выражения можно использовать, чтобы проверить его. Автор темы предпочитает отмалчиваться, поэтому это придётся делать мне.

-- Вт янв 28, 2014 19:53:23 --

EEater в сообщении #819746 писал(а):

$Q_1 +Q_2 =Q'_1 -Q'_2$ (ЗСИ).

А это, простите, как Вы получили? Почему с одной стороны плюс, а с другой минус?