Доказать, что функция всюду дифференцируема.

[koshpil]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста c решением задания.
Доказать, что функция

$$ f(x)=\begin{cases} x^2\cdot \sin(1/x),&\text{если $x \ne 0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ \end{cases} $$

всюду дифференцируема, но её производная имеет разрыв в точке $x= 0$.

Вопрос у меня такой: как доказать что функция дифференцируема всюду?
Т.к. по теореме "Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда
существуют равные и конечные обе односторонние производные". Но как доказать, что всюду дифференцируема, невозможно же перебрать все точки?
Предположить противное, что существует точка, в которой функция не дифференцируема, опять же придется по всем точкам пройтись?

[Otta]

А какие результаты Вам известны о дифференцируемых функциях?
Все точки незачем, в почти всех дифференцируемость из общих результатов есть. А где из общих ничего не ясно?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

koshpil
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Формулы поправил и вернул.
Вставлять доллары везде в формулу необязательно.

[SpBTimes]

koshpil
Пользуйтесь теоремой о произведении и композиции дифференцируемых функций. А в нуле, ну как, по-определению.

[provincialka]

koshpil в сообщении #816490 писал(а):

опять же придется по всем точкам пройтись?

Долгонько ходить придется.

koshpil в сообщении #816490 писал(а):

"Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда
существуют равные и конечные обе односторонние производные".

То есть вы считаете, что исследовать две односторонние производные проще, чем одну обычную?