Помогите понять задачу и найти формулу

[Estiva]

На складе стоят два стеллажа с товаром одного вида количеством $n$ штук в каждом. Работник склада произвольно выбирает стеллаж и забирает единицу товара. Найти вероятность того, что в момент опустошения первого стеллажа на втором останется ровно $k$ единиц товара.
У меня два возможных варианта формулы, но оба скорее всего неверные:
1) $\frac{C^n_{2n+k}}{2^{2n+k}}$
2) $\frac{C^n_{2n-k}}{C^k_{n-k}}$
Буду очень рад, если кто-нибудь объяснит:(

[provincialka]

Хочу уточнить условие: какой стеллаж считается "первым": тот, что стоит слева (условно говоря), или тот, который первым освободится?
Будем считать, что номер стеллажа фиксирован. Можно рассуждать так. Одно взятие предмета - это случайный эксперимент. Случайность состоит в том, какой именно стеллаж выберет работник, а "успех" - в том, что будет выбран второй стеллаж. Вероятность этого есть 0,5. Ничего не напоминает?

[Estiva]

provincialka

Первый тот, с которого первый раз взяли. Он первым будет до самого своего опустошения. Не совсем понял, вероятность чего я должен найти по условию, ведь говорится о единицах, которые в стеллажах.

[provincialka]

Estiva в сообщении #815595 писал(а):

Первый тот, с которого первый раз взяли.

Это уже третий вариант постановки задачи. Давайте все же считать пока, что первый тот на котором было заранее написано 1. Будем следить только за вторым стеллажом. Вот подошел работник, взял товар. С нашего стеллажа или нет? То да, то нет. Это схема Бернулли. Сколько будет попыток? Сколько успехов? Чему равно $p$?

Когда это решите, подумайте над модификациями. Что изменится,если номер стеллажа выбирается после первой попытки? После опустошения одного из стеллажей?

[Estiva]

Только начали в вузе проходить теорию вероятностей, пока не всё понимаю, что вы пишете. Допустим было по 3 предмета каждом стеллаже изначально, вероятность, что работник выберет первый стеллаж и уменьшит число предметов в нём - 0,5. Дальше вероятность сохраняется, и если он три раза подряд с этой вероятностью выбирал первый стеллаж, то первый опустел, а во втором осталось 3 ($n=k$ по условию). Как выразить формулой это? Пошел читать про схемы Бернулли.

[provincialka]

Estiva в сообщении #815603 писал(а):

Пошел читать про схемы Бернулли.

Бог в помощь. Если только начали изучать, вряд ли постановка задачи отличается от той, что предложила решать я. Это самый простой вариант.

[Estiva]

provincialka

Попробовал прорешать. $P_n(k) = C(n,k)p^{k}q^{n-k}$
$p = 0.5$
$q = 1-0.5 = 0.5$
$P_n = C(n,k)/2^n$
Если подставить, к примеру, $n = 4, k = 1$ (по 4 предмета изначально, и найти вероятность того, что на втором останется 1 предмет, когда первый опустеет), то вероятность получается 0,25. Правильно ли это?

[provincialka]

Ошибка в обозначениях. Вы не ответили на мои вопросы:

provincialka в сообщении #815598 писал(а):

Сколько будет попыток? Сколько успехов?

Ваши $n,k$ - не обязательно те же, что в теории.

[Estiva]

provincialka в сообщении #815623 писал(а):

Ошибка в обозначениях. Вы не ответили на мои вопросы:

provincialka в сообщении #815598 писал(а):

Сколько будет попыток? Сколько успехов?

Ваши $n,k$ - не обязательно те же, что в теории.

Попыток будет 2n. Успехов - не уверен, половина, вроде...

[provincialka]

Неверно, не $2n$. Сколько единиц товара будет взято к тому моменту, когда один стеллаж опустеет, а в другом останется $k$ предметов? Сколько раз будет подходить к стеллажам продавец?

-- 17.01.2014, 16:00 --

Так, похоже, я вас обманула! Это не схема Бернулли, ведь число опытов не постоянно! Еще подумаю

-- 17.01.2014, 16:22 --

Ага, вот как! Это в некотором смысле Бернулли, только событие рассматривается другое: число неудач до первых $r$ удач. Называется "отрицательное биномиальное распределение".
Можно рассматривать попытку как один подход к стеллажам, успех - взять предмет из первого. Сколько раз это должно произойти? А число неудач - это число предметов, взятых из второго стеллажа. Сколько их?

[Deggial]

Estiva,
Индексы и степени пишутся так: A^{123}_{\max} $A^{123}_{\max}$, биномиальные коэффициенты - как \binom{n}{k} $\binom{n}{k}$.
Оформлять нужно все формулы и термы.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Некоторые формулы поправил.

[provincialka]

Лучше не заморачиваться с распределениями, а просто описать конкретное событие. Пусть событие $A$ - деталь из первого стеллажа, $\overline A$ - деталь из второго стеллажа. Что должно произойти? Всего $(2n-k)$ попыток, $n$ раз $A$ и $(n-k)$ раз $\overline A$. Причем последняя должна быть $A$, иначе стеллаж опустошился бы раньше. Предыдущие распределяются как $(n-1)$ раз $A$ и $(n-k)$ раз $B$. То есть вероятность (как в биномиальном законе) $P(n-1+n-k,n-k)$ надо умножить еще на $\frac12$.

[svv]

Совершенно согласен.
Интересно, когда один стеллаж опустошился, вероятность отклоняется от «биномиальной» (влияет то, что у кладовщика нет выбора), но за один шаг до опустошения биномиальная формула ещё применима.

[provincialka]

svv, эта задачка мне понравилась, надо где-нибудь использовать. Как-то привыкаешь к биномиальному распределению, а другие, связанные со схемой Бернулли, выпадают из внимания.
Но если

Estiva в сообщении #815603 писал(а):

Только начали в вузе проходить теорию вероятностей

то задачка крутовата. Хотя, что значит - только что? Заочник, что ли? Вроде сейчас сессия...

[svv]

И мне понравилась. Я для неё красивый граф состояний нарисовал, с вероятностями переходов.