Бесконечность

[provincialka]

itmanager85 в сообщении #811291 писал(а):

Я бы и сам доказал , мне в ломы считать было .

1. Первое доказательство было вообще без счета.
2. Вы продолжали настаивать на своём даже после его обнародования.

-- 08.01.2014, 15:20 --

Munin, задачка чудная, спасибо, что напомнили про нее!

[epros]

casualvisitor в сообщении #811136 писал(а):

А я делаю другое - отвечаю на вопрос

zeropoint в сообщении #810547 писал(а):

Мне вот интересно, есть ли что то в физической реальности, в модели чего фигурируют бесконечные величины?

Этот вопрос математике не принадлежит. Выбрасывая на свалку ответ, не забудьте выбросить и вопрос.

А про актуальность или потенциальность бесконечностей Вы тогда к чему вспоминали? На вопрос-то (ежели его не выкидывать на свалку), можно просто ответить "да", и все дела...

[casualvisitor]

epros в сообщении #811355 писал(а):

А про актуальность или потенциальность бесконечностей Вы тогда к чему вспоминали?

http://dxdy.ru/post810654.html#p810654

[epros]

casualvisitor, вот до этого места:

casualvisitor в сообщении #810654 писал(а):

Здесь абстракция потенциальной бесконечности использована для моделирования процесса познания бесконечного (возможно, что бесконечного) объекта.

всё логично (если упоминание про "потенциальность" бесконечности считать не более, чем красочным эпитетом). Т.е. Вы просто объясняете человеку, что в некоторых моделях бесконечности могут быть полезны.

Но дальше-то Вы начинаете рассказывать о каких-то отличиях "актуальной" бесконечности (которая по Вашим словам тоже полезна). И в чём именно заключается эта "актуальность"? Мне вот не очень понятно.

Вы не принимайте мои комментарии за наезд, мне и правда любопытно ... услышать как философ может определить (и может ли) понятие "актуальности" бесконечности.

[casualvisitor]

epros в сообщении #811422 писал(а):

Мне вот не очень понятно.

Значит, я не сумел Вам объяснить. Виноват. Могу только обратить внимание на то, что в первом абзаце моего сообщения бесконечный натуральный ряд появляется как абстракция возможности продолжения некоторого процесса подсчета; используя эту абстракцию, мы получаем тут возможность говорить о бесконечном процессе, но это еще не дает нам права воображать себе некий "конец бесконечного процесса" (мне вот только что пришлось даже употребить внутренне противоречивое выражение). А во втором абзаце некоторый бесконечный процесс (прохождения Ахиллеса через указанные там точки) оказывается ЗАВЕРШЕННЫМ. Это - ДРУГАЯ АБСТРАКЦИЯ.

[epros]

casualvisitor в сообщении #811624 писал(а):

оказывается ЗАВЕРШЕННЫМ. Это - ДРУГАЯ АБСТРАКЦИЯ

Честно говоря, мне оная завершённость совершенно не кажется очевидной. Автор может сколько угодно воображать себе бесконечную делимость пути до черепахи, но как оно имеет место быть на самом деле - доподлинно никто не знает. Может быть на каком-то микроуровне пространство дискретно, так что последний шаг Ахиллеса окажется вполне конечной длины, а стало быть и число оных шагов окажется конечно. Поэтому тот факт, что Ахиллес на практике завершил свой путь до черепахи, вовсе не означает, что он "актуально" завершил какую-то бесконечность (кроме разве что воображаемой). А воображаемое - это, конечно, не "актуальное". Мы ровно так же можем себе вообразить, что способны досчитать до бесконечности. Или что в стакане воды, который мы выпиваем, содержится бесконечное количество частиц (хотя сейчас мы вроде бы "знаем", что их количество всё же конечно).

Повторюсь, что смысл актуальности может быть придан в конструктивной логике. Например, вот я не верю в то, что в каком-либо разумном смысле существует множество (всех) натуральных чисел. Однако существуют такие процедуры, количество шагов которых ничем не ограничено (т.е. не имеющие точки останова). Как одно можно совместить с другим? Ведь, рассуждая чисто формально, процедура без точки останова должна перебрать всё множество натуральных чисел. В классической логике - действительно никак...

[casualvisitor]

epros в сообщении #811740 писал(а):

Честно говоря, мне оная завершённость совершенно не кажется очевидной.

Это просто потому, что актуальная бесконечность - более сильная абстракция, чем потенциальная.

epros в сообщении #811740 писал(а):

А воображаемое - это, конечно, не "актуальное".

... Но вот термин "актуальная бесконечность", удачен он или нет, устоялся. И прилагательное "актуальная" указывает на то, что абстрактный, воображаемый бесконечный процесс мыслится завершенным, а не на то, что какой-то реальный процесс не только бесконечен (это уже за пределами нашего опыта, уже воображаемый процесс , а не реальный), но и завершен. Поэтому Ваши размышления о том, что

epros в сообщении #811740 писал(а):

Может быть на каком-то микроуровне пространство дискретно, ...

не имеют отношения к обсуждаемым вопросам. Обсуждается моделирование реальности, а не моделируемая реальность.

epros в сообщении #811740 писал(а):

Повторюсь, что смысл актуальности может быть придан в конструктивной логике.

Тогда я повторю, что говорю о другом, о том как человеческий мозг переходит от конечного опыта к абстракции бесконечности.

[Xey]

Munin в сообщении #810705 писал(а):

у нас нет пока ни одного прибора, на шкале которого была бы метка $\infty.$

[epros]

casualvisitor в сообщении #811776 писал(а):

абстрактный, воображаемый бесконечный процесс мыслится завершенным

Любой воображаемый бесконечный процесс можно "помыслить" себе завершённым. В том числе - процесс инкремента натурального числа (т.е. взяли, и досчитали "до бесконечности"). Или чуть более хитрый пример: Вот я напишу сейчас алгоритм, проверяющий каждое следующее нечётное число на то, что оно является совершенным. Как известно, вопрос существования нечётного совершенного числа математикой не решён. Но я могу "вообразить", что мой алгоритм до такого числа рано или поздно досчитает, т.е. ответит на вопрос о существовании нечётного совершенного числа ... положительно (даже если на самом деле его не существует). Насколько в таком случае я могу полагаться на своё воображение?

Фишка в том, что наличие в языке "устоявшегося термина" ещё не означает, что этому термину может быть придан определённый смысл. Вот Вы говорите, что "мозг переходит от конечного опыта к абстракции бесконечности". А что это значит в строгом смысле? Просто в определённый момент "мозг" принимает за истину какое-нибудь утверждение вроде: "Существует множество всех натуральных чисел". В случае с моим примером это будет означать принять за истину утверждение: "Существует нечётное совершенное число".

Вопрос в том, а нужно ли оно нам? Я имею в виду: нужно ли нам принимать подобные вещи за аксиомы?

-- Чт янв 09, 2014 15:30:54 --

Xey, мои аплодисменты Вам.

[casualvisitor]

epros в сообщении #811872 писал(а):

Любой воображаемый бесконечный процесс можно "помыслить" себе завершённым. В том числе - процесс инкремента натурального числа (т.е. взяли, и досчитали "до бесконечности").

Поздравляю, Вы поняли, что имеется в виду под актуальной бесконечностью.

epros в сообщении #811872 писал(а):

Или чуть более хитрый пример: ...

Извините, на мой взгляд он к делу (к вопросу о потенциальной и актуальной бесконечностях) не относится.

epros в сообщении #811872 писал(а):

наличие в языке "устоявшегося термина" ещё не означает, что этому термину может быть придан определённый смысл

Я не просто констатировал наличие у термина устоявшегося значения, а объяснил это значение. И оказалось, что Вы меня поняли!

epros в сообщении #811872 писал(а):

Вот Вы говорите, что "мозг переходит от конечного опыта к абстракции бесконечности". А что это значит в строгом смысле? Просто в определённый момент "мозг" принимает за истину какое-нибудь утверждение вроде: "Существует множество всех натуральных чисел". В случае с моим примером это будет означать принять за истину утверждение: "Существует нечётное совершенное число".

Вопрос в том, а нужно ли оно нам? Я имею в виду: нужно ли нам принимать подобные вещи за аксиомы?

Извините, я плохо понимаю эти Ваши вопросы. Видимо, поэтому мне кажется, что наш разговор стал бессодержательным. Еще раз прошу меня извинить.

[Someone]

casualvisitor в сообщении #811915 писал(а):

Я не просто констатировал наличие у термина устоявшегося значения, а объяснил это значение. И оказалось, что Вы меня поняли!

Видите ли, какая закавыка. Когда я был студентом мехмата МГУ, нам философы, разумеется, объясняли про потенциальную и актуальную бесконечность, и эти объяснения мне были понятны — на уровне "околоматематических философствований". Речь идёт о некоем процессе (допустим, "пересчёта" натурального ряда), который (при некоторых естественных предположениях) не может закончиться за конечное время, и это называется потенциальной бесконечностью. Если же мы вообразим тот же процесс закончившимся (для чего можно сделать несколько другие предположения), то это, дескать, актуальная бесконечность.

Однако из меня готовили не философа, а математика. И я хорошо вижу, что в математике (как классической, так и конструктивной) нет понятий потенциальной и актуальной бесконечности, потому что выразить математически разницу между "потенциально бесконечным" и "актуально бесконечным" в том виде, как это сформулировано у философов, не удаётся.

Рассмотрим, например, натуральный ряд с аксиоматикой Пеано. Аксиомы Пеано вовсе не определяют никакого процесса пересчёта натурального ряда. Они определяют свойства натуральных чисел и их совокупности (натурального ряда).
А процесс пересчёта натурального ряда, описанный философами, предполагает, что каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие действительное число $t_n$ (момент времени, когда было "сосчитано" натуральное число $n$), причём, $t_n<t_{n+1}$. В одном случае последовательность $t_n$ не ограничена, в другом — ограничена. Отсюда можно сделать вывод, что "актуальная" или "потенциальная" бесконечность является характеристикой не самого натурального ряда, а того, каким способом мы назначаем натуральным числам "моменты времени" $t_n$. Поэтому невозможно определить, какая "бесконечность" характеризует натуральный ряд — "актуальная" или "потенциальная".

В самой математике нет понятия времени. Вопрос "Существуют ли все натуральные числа одновременно?" не имеет смысла.

[casualvisitor]

Someone в сообщении #811949 писал(а):

в математике (как классической, так и конструктивной) нет понятий потенциальной и актуальной бесконечности

Да, конечно же, нет! В математике нет. И мы тут об этом уже договорились. Причем не единожды.

Someone в сообщении #811949 писал(а):

"актуальная" или "потенциальная" бесконечность является характеристикой не самого натурального ряда, а того, каким способом мы назначаем натуральным числам "моменты времени" $t_n$.

Почти согласен. Конечно, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность не являются характеристиками натурального ряда. Потенциальная бесконечность - это когда мы говорим: "один, два, три, четыре, ... " и забываем, о том, что когда-нибудь нам придется прекратить это интересное занятие (всякая абстракция есть не что иное как забывание о чем-то). А актуальная бесконечность - это когда мы говорим: "Натуральный ряд" (или того хлеще: "Континуум") и забываем о том, откуда этот зверь взялся, но зато вспоминаем, о том, как , считая "один, два, три, четыре, ... ", мы забыли остановиться. Конечно, эта комбинация "забывания" и "вспоминания" сложнее, чем одно только "забывание". Не всем нравится. Но очень многие люди мыслят именно так. (Включая, оказывается, и Вас в молодости.) А я как раз и говорю (точнее, говорил) о том, каким образом люди переходят от конечного опыта к абстрактным бесконечностям. И да, это - "околоматематические философствования". О чем тоже уже неоднократно тут говорилось при полном непротивлении сторон.

[Munin]

Xey
:-)
А что вы скажете о показаниях прибора, фотографию которого привели? Стрелка-то находится уже "по ту сторону бесконечности". Как это понять?

(На самом деле, разумеется, настоящая шкала прибора - выше, где вольты и амперы. А там, где написаны омы - это пересчитанные величины из реальных показаний, они, разумеется, могут быть и бесконечными. Отклонение стрелки (измеренное в сантиметрах или градусах) бесконечным быть не может.)

Someone
Можно ли считать "основанным на процессе пересчёта" любое доказательство по индукции (и аксиому индукции, соответственно)?

[Xey]

Munin в сообщении #811997 писал(а):

А что вы скажете о показаниях прибора, фотографию которого привели? Стрелка-то находится уже "по ту сторону бесконечности". Как это понять?

Так этой черточкой обозначено начало бесконечности, а конца у нее нету, это всем известно

[Munin]

LOL