Гомоморфизм колец

[Marrry]

Найти гомоморфизмы колец Z6 -> Z10
Каким образом можно решить, опираясь на идеалы?

[Joker_vD]

А разве такие гомоморфизмы колец есть?

[Urnwestek]

Один точно есть — отобразить всё в ноль. (:

-- 25.12.2013, 01:43 --

Ещё один:

$$(0,1,2,3,4,5) \mapsto (0,1,4,5,6,9)$$

-- 25.12.2013, 01:48 --

А не, то гомоморфизм лишь мультипликативной группы кольца.
-- 25.12.2013, 02:12 --

А, ну и как решать понятно. Понятное дело, что образ гомоморфизма — идеал в кольце $Z_{10}$. А идеалов там не много:

$$(0)$$

$$(0,5)$$

$$(0,2,4,6,8)$$

С первым понятно, со вторым нужно прогомоморфить так:

$$(0,1,2,3,4,5)\mapsto (0,5,0,5,0,5)$$

, (не учитывая гомоморфизм в ноль, то что никак иначе нельзя — почти очевидно).
C третьим гомоморфизма не выйдет, легко проверить, что в кольце

$$(0,2,4,6,8)$$

нет единицы, а гомоморфизмы такие штуки (наличие единицы) должны сохранять.
Ну и всё.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #805764 писал(а):

Понятное дело, что образ гомоморфизма — идеал

$\mathbb Z$ — идеал в $\mathbb Q$? Ну-ну.

Если единицу можно отображать лишь в единицу, то гомоморфизмов нету. Если же можно — он в данном случае все равно определяется образом $f(1)$, так что вариантов немного.

[Urnwestek]

Joker_vD в сообщении #805768 писал(а):

$\mathbb Z$ — идеал в $\mathbb Q$? Ну-ну.

А в задаче разве $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$? По-моему, если не обрезать фразу на половине

Urnwestek в сообщении #805764 писал(а):

что образ гомоморфизма — идеал в кольце $Z_{10}$

то вполне очевидно, что речь идёт только об этой конкретной задаче.

Joker_vD в сообщении #805768 писал(а):

Если единицу можно отображать лишь в единицу, то гомоморфизмов нету.

Такого требования, насколько я помню, нету, да, я про «сохранение единицы» не очень хорошо выразился, я имел в виду, что если в $A$ есть единица и есть гомоморфизм $f$ из $A$ в $B$, то единица есть и в $\operatorname{Im} f$. Ну таки да, он и определяется, «валидных» вариантов всего два: $f(1)=0$ и $f(1)=5$.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

Marrry
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Urnwestek, замечание за почти полное решение простой учебной задачи.