Задача на случайное блуждание точек по окружности

[elenashkorkina]

Доброго времени суток!
Точки A,B,C независимы и равномерно распределены на окружности радиуса 1. Найти средние значения: а)площади треугольника ABC; б)его периметр; в) радиуса круга, вписанного в треугольник АВС.
Не уверена, но вроде задача по теме "Цепи Маркова", при этом нужно рассматривать случайное блуждание точек по окружности. Как связять это с радиусом?

[Otta]

Ну и что, по Вашему мнению, будет переходом из состояния в состояние?

Напишите, что значит равномерное распределение на окружности. Какому закону распределения подчиняется эта случайная величина.

[arseniiv]

Если задание ровно такое:

elenashkorkina в сообщении #802842 писал(а):

Точки A,B,C независимы и равномерно распределены на окружности радиуса 1. Найти средние значения: а)площади треугольника ABC; б)его периметр; в) радиуса круга, вписанного в треугольник АВС.

— то какие же могут быть цепи Маркова? Здесь просто три случайные величины-точки (ну или шесть и т. д., кому как), и три случайные величины, зависящие от первых. Никакое время вводить сюда не требуется.

[elenashkorkina]

Otta в сообщении #802847 писал(а):

Напишите, что значит равномерное распределение на окружности. Какому закону распределения подчиняется эта случайная величина.

Случайная непрерывная величина X на промежутке (а,b) имеет равномерное распределение, если плотность распределение p(x) = 1/(b-a) на заданном промежутке, а вне его р(х)=0. В данном случае длина окружности равна 2$\pi$, значит ли это, что нужно рассматривать [0;2$\pi$]?
Функция распределения в этом случае имеет вид: F(x) = 0,x<a;$\frac{x-a}{b-a}$, a<=x<=b; 1,x<b

[Otta]

Ну окружность-то не отрезок. И положение точки на плоскости не удастся передать числом, одномерной характеристикой. Таки нужон вектор.

(Оффтоп)

Формулы $\TeX$ом оформляйте.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #802856 писал(а):

Здесь просто три случайные величины-точки (ну или шесть и т. д., кому как)

А не меньше ли? Не теряя общности, зафиксируем первую вершину треугольника в точке $(1,0)$. Вторую вершину поместим в точку $(\cos \varphi_1, \sin \varphi_1)$, где из соображений симметрии $\varphi_1$ \in [0;\pi]. Третью же вершину разместим в точке $(\cos \varphi_2, \sin \varphi_2)$, где $\varphi_2 \in [0; 2\pi]$. Итого имеем всего две случайные величины, равномерно распределённые на отрезках $[0; \pi]$ и $[0; 2\pi]$ соотвественно.

[Otta]

Aritaborian
Двух хватит, да.

-- 18.12.2013, 02:36 --

elenashkorkina в сообщении #802894 писал(а):

Как же тогда искать функцию распределения и нужна ли вообще она для того, чтобы связать это с площадью и периметром?

Не нужна. Но матожидание какого выражения, какой случайной величины Вы будете искать, знать нужно. А для этого нужно это выражение выписать. А для этого нужно знать, какому закону распределения подчиняются координаты точек, которые будут в него входить.

Как вариант, можно выписать законы распределения для сторон треугольника, - по сути, только стороны и нужны.

[elenashkorkina]

Otta в сообщении #802883 писал(а):

Aritaborian
Двух хватит, да.

-- 18.12.2013, 02:36 --

elenashkorkina в сообщении #802894 писал(а):

Как же тогда искать функцию распределения и нужна ли вообще она для того, чтобы связать это с площадью и периметром?

Не нужна. Но матожидание какого выражения, какой случайной величины Вы будете искать, знать нужно. А для этого нужно это выражение выписать. А для этого нужно знать, какому закону распределения подчиняются координаты точек, которые будут в него входить.

Функция распределения для второй точки тогда будет иметь вид: F2(x) =
0, x<0
x/2$\pi$, 0<=x<=2$\pi$,
1, x>= 2$\pi$.

Для третьей точки F3(x) =
0, x<0
x/$\pi$, 0<=x<=$\pi$,
1, x>= $\pi$.

Матожидание случайной величины X1 равномерно распределенной на интервале [0,$\pi$] равно $\pi$/2,а величины X2 равномерно распределенной на интервале [0,2$\pi$] равно $\pi$.
Скажите, пожалуйста, правильно ли?

[Aritaborian]

elenashkorkina, давайте вы сначала полностью оформите формулы ТеХом, а то ведь нечитабельно совсем.

[Otta]

elenashkorkina в сообщении #802906 писал(а):

Матожидание случайной величины X1 равномерно распределенной на интервале [0,$\pi$] равно $\pi$/2,а величины X2 равномерно распределенной на интервале [0,2$\pi$] равно $\pi$.
Скажите, пожалуйста, правильно ли?

Внимание, вопрос: что такое $X_1$ и $X_2$? Это величины чего?
И оформляйте формулы, сейчас унесут Вас в Карантин и будут правы.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.