Прошу прощения, что встреваю.
Добавив

, Вы добавляете также все его степени -- ведь у нас поле, значит, можно умножать все на все. Но вдруг оказывается, что линейно независимых над

среди этих степеней всего... сколько? И каждый элемент

представляется в виде соответствующей линейной их комбинации с рациональными коэффициентами, т.е. имеем векторное пространство некоторой размерности, которую Вам и надо найти. А если Вы присоедините

(в случае, когда они не выражаются рационально через

), то Вы присоедините помимо их степеней также всевозможные произведения. И они тоже не все линейно независимы над

-- формулы Виета в помощь.