Преобразование Фурье в другом базисе

[vaprv.v]

Почему не используют преобразование подобное Фурье с набором ортонормированных функций
{ 1, $\sqrt2$ * sin( t ), $\sqrt2$ * sin( 2t ), .. , $\sqrt2$ * sin( nt ) } ?

[provincialka]

Оформляйте формулы TeX. По теме: а зачем? И при чем тут $\sqrt2$?

[vaprv.v]

Как мне кажется проще считать. А $\sqrt2$ чтобы базис был ортонормированным.

[provincialka]

А как связаны преобразование Фурье и базис? Может, вы имели в виду ряд Фурье? Собственно, это не важно, речь идет об ортогональной системе функций.

vaprv.v в сообщении #792791 писал(а):

А $\sqrt2$ чтобы базис был ортонормированным.

Да я поняла, зачем. Только коэффициент неверный, скалярный квадрат функции $\sin nx$ на промежутке $[-\pi,\pi]$ равен $\pi$, а не 2.
Или вы берете другой промежуток?

[vaprv.v]

Промежуток тот и коэффициент верный, но вопрос не в этом. Почему неиспользуют?

[provincialka]

Который из коэффициентов верный? Думаю, не нравится писать радикал, $\sqrt\pi$, когда в существующих формулах $\pi$ без корня. А вообще вопрос праздный, хотите - используйте.

[vaprv.v]

Для того, чтобы скалярное произведение sin( xt ) на sin( xt ) давало 1 на промежутке -$\pi$ .. $\pi$ необходим $\sqrt2$. Возьмите интеграл, сами убедитесь.
Не используют по какой-то причине, а по какой, понять не могу. Это ведь проще и наглядней, но не используют ведь..

[provincialka]

А может, лучше вы покажете свой интеграл? Сколько читаю лекции, все почему-то $\pi$ получалось.

[vaprv.v]

Студентам головы морочите
Мы ищем интеграл: $(1/2\pi)\int (sin(nt))^2 dt$ от $-\pi$ до $\pi$ я утверждаю что он равен 1/2 при n = 1, 2, ..

[provincialka]

А зачем вы делите его на $2\pi$? Нет такого определения! Скалярное произведение функций $f,g$- это интеграл $\int\limits{_a^b}f(t)g(t)dt$, делить его на длину отрезка, т.е. на $b-a$ не нужно. Эта формула является обощением дискретного случая, т.е. скалярного произведения векторов. Если делать по-вашему, то нужно считать, что для векторов $x=(x_1,x_2,...,x_n), y = (y_1,y_2, ...,y_n)$ скалярным произведением будет $\frac{\sum x_iy_i}{n}$. Но это только ваше личное мнение, общепринятое определение другое.

[vaprv.v]

Это нормировка, она делается для удобства. Строго говоря наверное вы правы.
Всеже непонятно почему не используют этот базис.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

vaprv.v
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом нормально, целиком каждую формулу в пару долларов без всяких звездочек, верхние пределы тоже в формулу загоняйте.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.