E

[vorvalm]

А что тут опровергать?
Уберите из обеих частей неравенства $n,\;x,\;\prod_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$
и останется квадрат и куб.

[Апис]

$\begin{array}{l} x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} < \pi (x) \\ x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^3} > \pi (x) \\ \end{array}$

$\begin{array}{l} - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} < \pi (x) - x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - n \\ - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^3} > \pi (x) - x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - n \\ \end{array}$

Дальше что

[vorvalm]

Апис в сообщении #790984 писал(а):

Дальше что

Это вы о чем?

[Апис]

Опровержение

[vorvalm]

А к чему такие выкрутасы? Я же предложил решение проще:
ничего никуда не надо переносить, просто убрать $n,\;x,\;\prod_{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$

[Апис]

Нет в математике такого действия, просто убрать. Хотя вам не откажешь в странной логике, если я что то добавил в неравенство, значит что то можно убрать.

Всё сначала.

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n > \pi (x)$ (1)

$p_n^2 \le x < p_{n + 1}^2$

Погрешность вычисления, по формуле (1), количества простых чисел, на интервале $\left( {1,x} \right)$ растёт бесконечно. Доказано.

$x\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right] + n < \pi (x) < x\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right] + n$ (2)

Если доказать что неравенство (2) верно, это будет доказательством что величина погрешности вычисления (Е) находится в некоторых границах.


$n - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} < E < n - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^3}$

В дальнейшем можно попытаться уменьшить эти границы

Формула (2) выведена на основе логических рассуждений ( которые и хочу проверить через проверку неравенства) и нельзя взять из неё и что то удалить. Это надо не только объяснить, но и доказать что по удалению некоторых частей формула не потеряет свой первоначальный смысл.

Все остальные преобразования, по правилам, можно и нужно. И никаких просто убрать.

[vorvalm]

Апис в сообщении #791024 писал(а):

Нет в математике такого действия, просто убрать.

Как это нет? Если в правой и левой части неравенства одно и то же число, то его можно убрать
и там и там.

[Апис]

Не смешно.

[vorvalm]

(Оффтоп)

Это кому как.

[Апис]

vorvalm в сообщении #791033 писал(а):

Как это нет? Если в правой и левой части неравенства одно и то же число, то его можно убрать
и там и там.

3+9>10>6+3
Убирайте в левой и правой части тройку и смотрите что получится.

[arseniiv]

Убиранием тройки получится $9>7>6$. Это ведь не одно неравенство, а два, коротко записанные. Можно вообще писать что-то типа $a_1>a_2>a_3>a_4>a_5$ — это всего лишь сокращение четырёх одновременно выполняющихся неравенств.

[Апис]

Да посмотрите он же убирает только из левой и правой части. 9>10>6. Может хватит об этом.

[vorvalm]

Апис в сообщении #791118 писал(а):

Да посмотрите он же убирает только из левой и правой части.

Вы меня неправильно поняли. Ваше неравенство можно свести к неравенству:

$\frac {C_2}{\ln^2{x}}< 1-\frac n{\pi(x)}<\frac {C_1}{\ln x}$

при $x\rightarrow\infty$ оно не выполняется.

[vorvalm]

Извиняюсь, совсем упустил постоянную С.

$\frac{C_2}{\ln^2{x}}<1-\frac n{\pi(x)}-e^{-\gamma}<\frac{C_1}{\ln x}$

[Апис]

Я покажу ход моих рассуждений, и сомнительное место в рассуждениях.

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n > \pi (x)$

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} < \pi (x)$

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) + n < \pi (x)$

$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \left[ {x\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)} \right] + n < \pi (x)$

Если смотреть в обратном порядке по формулам, то видно, что я исходил из того, что в квадратных скобках количество составных чисел на интервале $\left( {0,x} \right)$ А количество составных имеет погрешность вычисления обратную погрешности вычисления количества простых чисел. Если для простых. (Е) то для составных чисел. (-Е). То есть предполагалось хотя бы частичное погашение погрешности.
Но есть одна неточность, в квадратных скобках должно быть

$\left[ {x\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) - n} \right]$ - Это и есть сомнительное место.

$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \left[ {x\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) - n} \right] + n < \pi (x)$

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} - n\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} + n} < \pi (x)$

Тогда неравенство примет вид

$x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^2} - n\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}} + n} < \pi (x) < x\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + n$

Я в правой части пока убрал вычитание $x{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^3}$ сначала нужно доказать неравенство так сказать, в общем виде, а потом уже можно заниматься уменьшением границ в которых находиться величина погрешности.

vorvalm Я понимаю вовлекать в свою работу (за просто так) посторонних неприлично, потому и предлагаю в порядке дискуссии опровергнуть мои рассуждения. Но если в ходе дискуссии, кто докажет неравенство, тогда: Здесь сейчас и везде дальше обязательное об этом сообщение.