E

[Апис]

E – ошибка вычисления. Обозначение через букву (Е) погрешности вычисления, как первой буквы слова (error) вполне логично и удобно. Например:
${p_n}\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$ формула для вычисления количества составных чисел на интервале $\left( {0,{p_n}} \right)$
$E = {p_n}\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$
Определение величины погрешности вычисления, трудная проблема, но.
Если вычисление количества простых чисел $\left( {p_n^2} \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$ на интервале $\left( {{p_n},p_n^2} \right)$ сопровождается бесконечным ростом величины погрешности. Да и при вычислении количества простых чисел на интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ невозможно доказать, что всегда погрешность вычисления будет с одним знаком. Спустившись по числовой оси до интервала $\left( {{p_n},2{p_n}} \right)$ с формулой алгоритма для того же номера простого числа (n), увидим что погрешность вычисления будет расти бесконечно, но формульное значение количества будет меньше табличного. Что это нам даёт? Можно утверждать, на интервале $\left( {{p_n},2{p_n}} \right)$ всегда есть простые числа, и минимальное их количество даёт формула $\left( {{p_n}} \right)\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$ И самое интересное, до каких размеров можно уменьшить интервал, $\left( {{p_n},2{p_n}} \right)$ что бы на интервале всегда было хотя бы одно простое число. Возьмём интервал $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ Доказать, что на интервале $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ всегда есть простое число.
$\left( {\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}} - {p_n}} \right)\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) = {p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ -количество составных чисел на интервале $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$
$\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}} - {p_n} - {p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} = $${p_n}\left( {\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ - количество простых чисел на интервале $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$
Доказать, что ${p_n}\left( {\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right) > 1$ и можно утверждать на интервале $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ всегда есть хотя бы одно простое число.
Резюме от выше изложенного. Спуск по числовой оси от интервала $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ к интервалу $\left( {{p_n},2{p_n}} \right)$ и дальше к интервалу $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ при сохранении неизменной формулы алгоритма. Даёт нам то, что формульное значение количества простых чисел всегда меньше табличного значения и хотя из этого нельзя ничего сказать о величине погрешности вычисления. Всё же можно утверждать на интервале $\left( {{p_n},\frac{{{p_n}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right)$ всегда есть хотя бы одно простое число. Если ${p_n}\left( {\frac{{{{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}}}{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}}} \right) > 1$
Неравенство выполняется с n=13 (P_n=41)
Доказательство пока не готово, есть сомнения.

[vorvalm]

Апис в сообщении #736154 писал(а):

Можно утверждать, на интервале $(p_n,2p_n)$ всегда есть простые числа...

Это доказал Чебышев.

[Апис]

Самый маленький интервал, $\left( {{p_n},m{p_n}} \right)$ $\left( m \right) = \frac{1}{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + 1$ для которого верно утверждение:
На данном интервале $\left( {{p_n},\left( {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + {p_n}} \right)} \right)$ есть хотя бы одно простое число.

$\left( {m{p_n}} \right) = \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + {p_n}$
Из последней формулы видно, используя этот метод, про простые числа близнецы ничего сказать невозможно.

[vorvalm]

Апис в сообщении #737209 писал(а):

Самый маленький интервал, $\left( {{p_n},m{p_n}} \right)$ $\left( m \right) = \frac{1}{{{p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + 1$ для которого верно утверждение:
На данном интервале $\left( {{p_n},\left( {\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + {p_n}} \right)} \right)$ есть хотя бы одно простое число.

$\left( {m{p_n}} \right) = \frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} + {p_n}$

Этот вывод не тянет на доказательство проблемы Лежандра.

[Sonic86]

(Оффтоп)

цитатко писал(а):

ХББУРС

Когда в Институте стало известно, что Шизофреник опять взялся за свое, из архива достали его старый трактат и поручили Инструктору изучить его более тщательно. Трактат имел странное название "ХББУРС". Смысл названия был разъяснен в тексте. Но Врач текст читать не стал и по названию безошибочно установил диагноз.

[Апис]

Самый большой пробел $2{n_n}$ между соседними простыми числами на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ $p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$
Начнём с того, что пробелов столько же, сколько и простых чисел. Применим метод вычисления количества простых чисел, к вычислению количества пробелов, получим:
$m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{2{n_i} - 1}}{{2{n_i}}}} $ формула для вычисления количества пробелов на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$
$p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$
Но так как количество пробелов и количество простых чисел одинаково, то
$m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{2{n_i} - 1}}{{2{n_i}}}} = m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{2{n_i} - 1}}{{2{n_i}}}} = \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Конечно, точное равенство невозможно, но значение $2{n_n}$ вычисляется, это и есть самый большой пробел между соседними простыми числами.
И дополнительно, формула $m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ даёт количество простых чисел на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ с погрешностью вычисления. Значит, и значение $2{n_n}$ будет вычисляться с некоторой погрешностью.
Я показал метод определения самого большого пробела между соседними простыми числами на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$
показал в общем подход к проблеме, есть несколько нюансов

[vorvalm]

Апис в сообщении #742241 писал(а):

Начнём с того, что пробелов столько же, сколько и простых чисел.

Извините, но пробелов всегда на 1 меньше, чем простых чисел.

[Апис]

Цитата:

Извините, но пробелов всегда на 1 меньше, чем простых чисел.

Это если концы интервала простые числа. Несколько более существенных есть замечаний, хочу показать что они минимально влияют на конечный результат

[vorvalm]

Апис в сообщении #742309 писал(а):

они минимально влияют на конечный результат

Никакого результата пока не видно.

[Апис]

$\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} \approx \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Приблизительно равно, обозначает, если $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} > \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ то $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} < \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
$\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{7}{8}\frac{9}{{10}}......\frac{{2n_{{n^/}}^/ - 1}}{{2n_{{n^/}}^/}} > \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{4}{5}\frac{6}{7}\frac{{10}}{{11}}.....\frac{{{p_n} - 1}}{{{p_n}}}$
Факториал от нечётных чисел всегда больше примориала от простых чисел, с минус единицей (2Z-1)! >(P_n-1)#.
И факториал от чётных чисел Больше примориала от простых чисел (2Z)!>(p_n)#
Отсюда при равных (n) в левой и правой частях, верно неравенство $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{2{n_i} - 1}}{{2{n_i}}} > } \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
И вывод: Самый большой пробел между соседними простыми числами на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ при $p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$ Равен $2{n^/}$
${\rm{n}} > {{\rm{n}}^/}$
Можно ли этот вывод принять за доказательство гипотезы Крамера. ${p_{n + 1}} - {p_n} = O({\ln ^2}{p_n})$ что пробелы между последовательными простыми числами всегда маленькие.

[Someone]

Апис в сообщении #743757 писал(а):

$\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} \approx \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Приблизительно равно, обозначает, если $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} > \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ то $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} < \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

Даже если закрыть глаза на то, что левые части формул выглядят бессмысленными (во всяком случае, они требуют тщательного разъяснения обозначений), то два последних неравенства явно противоречат друг другу.

[Sonic86]

Апис в сообщении #742241 писал(а):

$2{n_n}$

А мне вот этот терм нравится. Что он вообще в принципе может обозначать - представить сложно.

Вообще, ТС одно и то же всегда пишет.

Апис в сообщении #743757 писал(а):

Можно ли этот вывод принять за доказательство гипотезы Крамера. ${p_{n + 1}} - {p_n} = O({\ln ^2}{p_n})$ что пробелы между последовательными простыми числами всегда маленькие.

Нет конечно.

[Апис]

Someone в сообщении #743805 писал(а):

(во всяком случае, они требуют тщательного разъяснения обозначений

Да с обозначениями новых определений у меня с самого начала не заладилось. Но может быть вернусь к этому вопросу, потом.

Sonic86 в сообщении #743809 писал(а):

Вообще, ТС одно и то же всегда пишет

Требовать каждый раз нового, да такого даже в шоу бизнесе добиться не могут. Пока предлагаю вам опровергнуть неравенство
Буквой (b) обозначим количество простых чисел на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ при $p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$
$m\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right] < b < m\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right]$ Неравенство определяет границы интервала, внутри которого точное значение (b).


Можно изменить значение (m) на величину (x) $\frac{{\left( {m + x} \right)}}{{\left( {m - x} \right)}} = \frac{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right]}}{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right]}}$ изменение значения величины (m) в левой и правой части неравенства происходит зеркально, в левой части увеличиваем на величину (x) в правой части на эту же величину уменьшаем. Далее находим значение (x) $x = \frac{{m\left( {\frac{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right]}}{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right]}} - 1} \right)}}{{\frac{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right]}}{{\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right]}} + 1}}$ Конечно глупо надеятся, что подставив значение (x) превратим неравенство в равенство, и получим точное значение величины (b). Изменение величины (m) в левой и правой части неравенстве, должно происходить неравномерно. Алгоритм изменения, в этом алгоритме суть погрешности вычисления количества простых чисел на интервале

[vorvalm]

Апис в сообщении #746042 писал(а):

Пока предлагаю вам опровергнуть неравенство
Буквой (b) обозначим количество простых чисел на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ при $p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$
$m\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right] < b < m\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right]$ Неравенство определяет границы интервала, внутри которого точное значение (b).

При $n=5,\;p_5=11,\;p^2_5=121,\;m=128,\;p^2_6=169.$

Ваше неравенство не получается.

$21<27<25$

[Апис]

Для vorvalm. Я бы посоветовал вам к простым числам расположенными в первой десятке или чуть больше не обращаться для примеров. Дело вот в чём. Неравенство для работы с погрешностью, но при m=128 формула$m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ даёт величину 26,59740259740259 при истинном значении 26. Понимаете неравенство не настолько чувствительно что бы на десятые доли реагировать. Это первое, второе формула алгоритма принимает базисы и базисные числа за составные, то есть единицу она относит к простым, но в таблицах единица не учитывается. Вот такие нюансы. Я первое время пытался учитывать единицу, но то потеряю её, то знаки при преобразованиях перепутаю. Но основной ответ на ваше замечание повторю, если формула $m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ даёт почти точное значение разница в десятых долях, естественно неравенство будет давать сбой. Но это только для первых простых чисел. Дальше погрешность растёт стабильно. И начинает работать неравенство.