E

[Апис]

Концовку смазал.
Если в формуле, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ в вычитаемом заменить, $p_n^2$, на, $\left( {p_{n - 1}^2} \right)$

$\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n - 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Величина погрешности на интервале $\left( {p_{n - 1}^2,p_n^2} \right)$ изменится, Но на величину небольшую, при которой нахождения погрешности вычисления можно принять за основу.
Изменится по отношению к величине погрешности, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

[Апис]

Очень плохо что опция правка отключается через час.
Значит величина разницы, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, есть не что иное, как погрешность вычисления.

Если в формуле, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, заменить, $p_n^2$, на, $\left( {p_{n - 1}^2} \right)$, Получим формулу для вычисления количества простых чисел на интервале, $\left( {p_{n - 1}^2,p_n^2} \right)$, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n - 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $.
Величина погрешности при вычислении количества простых чисел для интервала, $\left( {p_{n - 1}^2,p_n^2} \right)$, изменится. Изменится по отношению к величине погрешности, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, Но на величину небольшую, при которой величину погрешности вычисления, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, можно принять за основу.
Для последнего утверждения доказательства нет.

[Апис]

Количество простых чисел, между двумя квадратами соседних простых чисел. (Точное значение).

Вернёмся к утверждению:
Значит величина разницы, $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, (1) есть не что иное, как погрешность вычисления. При a<1.
$\left( {p_n^2 + a} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2 - a} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

$\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, (1)
$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, (2)

$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, (3)
$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$, (3)

Вычитаем из формулы (1) формулу (2) получаем формулу (3)

Получили, вычитание количества простых чисел на интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$, двумя способами.
Вывод: Если в формуле (3) в двух способах, равное количество простых чисел.
$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Тогда для формулы первого способа $\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, Величина погрешности соответственно вычисляется по формуле (1)
Для второго способа по формуле (2)


$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, - Количество простых чисел на интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$
Вычисление с погрешностью, $\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

Точное значение

$\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left[ {\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right]$
Например: Простые числа. 751. 757.
762,6242862648891 - 63,80488336679132=698,8194028980978
Для примера беру одни и те же простые числа, просто насчитал значений для формул алгоритма столько, сколько хватило терпения. Вот последние числа и использую для примера.

Точное значение 695
Маленькая разница получается из неучтённых нюансов. Например:

Между первым и вторым способом, из формулы (3) разница в две единицы по результату количества простых чисел.
В первом способе $\left( {p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, формула алгоритма принимает число, $p_n^2$, за простое число. Во втором способе, $\left( {p_{n + 1}^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $, $p_{n + 1}^2$.
Нужно отшлифовать результат

[serega57]

Думаю вся проблема в том что Вы берёте интервал не стационарный.Разница между 2 соседними числами может сильно меняться. Попробуйте взять меняющий но с постоянной константой. Просто между 2 рядом стоящими квадратами.

[Апис]

Вне зависимости на каком расстоянии от простого числа $\[{p_n}\]$, находится следующее простое число $\[{p_{n + 1}}\]$.
Средний пробел, на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$, на котором есть хотя бы одно простое число, определяется формулой. $\[\frac{1}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$ (1).
Средний пробел, на котором есть хотя бы одно составное число, определяется формулой $\[\frac{1}{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$ (2)
И определяется формулой, $\[\frac{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$ (3). Количество составных чисел на среднем пробеле (1).
Найти самый большой отрезок, состоящий из одних составных чисел.
При, $\[{p_{n + 1}} - {p_n} \to \infty \]$. То есть, интервал $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ с неопределённым концом справа.
Средний пробел (2), на котором есть хотя бы одно составное число. Возводим в степень (k) и получаем отрезок, $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}}\]$.
Возводим в степень, до выполнения равенства $\[{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^k} = \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$, затем умножаем $\[\frac{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}} = 1\]$ и получаем на отрезке $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}}\]$, одно простое число. Вычитаем единицу и получаем отрезок, $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}} - 1\]$ состоящий из одних составных чисел. И этот отрезок самый большой, потому что при дальнейшем увеличении показателя степени (k). На отрезке $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}}\]$ будет расти количество простых чисел.
Я думаю, нашёл возможность определения самого большого отрезка состоящего из одних составных чисел, на интервале
$\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$.
$\[{p_{n + 1}} - {p_n} \to \infty \]$. Интервал $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ с неопределённым концом справа.
Заключение
Если, $\[{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)^k} = \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$, тогда $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}} - 1 = \frac{{1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$. Отсюда: Определение, данное в начале, для формулы (3) неверно. Определение будет такое. Формулой (3) определяется самый большой отрезок, состоящий из одних составных чисел. На интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$.
Может возникнуть вопрос, зачем я вводил условие $\[{p_{n + 1}} - {p_n} \to \infty \]$. Потому что по ходу доказательства могло возникнуть предположение, что значение $\[\frac{1}{{{{\left( {1 - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^k}}}\]$, может быть больше $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$. А это бы привело к тому, что для опровержения, пришлось бы (искать) конкретное значение для $\[{p_{n + 1}}\]$. Что бы избавиться, от такого (счастья), и пришлось вводить $\[{p_{n + 1}} - {p_n} \to \infty \]$
Вопрос, все ли отрезки, состоящие из одних составных чисел, выраженные через их длину $\[\frac{{1 - m \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}\]$, имеют место быть на интервале $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$ ?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: перенесено по просьбе ТС

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Возвращено по просьбе ТС

[Апис]

Есть ли ответ на вопрос - Пробелы между простыми числами, все чётные числа?
Посмотрел где смог, вроде ответа нет. Как то получилось, что я перескочил через этот вопрос, посчитав его очевидным. Но надо вернуться к этому вопросу.

[Sonic86]

Апис в сообщении #877446 писал(а):

Пробелы между простыми числами, все чётные числа?
Посмотрел где смог, вроде ответа нет.

Вопрос тривиален, для ответа не нужны ручка и листок, достаточно мозга и 2-3 секунды его работы.
Думайте.

[Апис]

Когда я задавал вопрос я имел ввиду не чётность или нечётность чисел. а всё бесконечное количество чётных чисел, соответствует ли каждому чётному числу пробел. Если вы знаете ответ скажите просто да или нет.

[Sonic86]

Апис в сообщении #877550 писал(а):

я имел ввиду ... соответствует ли каждому чётному числу пробел.

Вы хотите спросить, верно ли, что любое четное число представимо разностью двух простых?
Если да, то это верно, но не доказано (это обобщение гипотезы простых близнецов).
Если нет, то я Вас не понял.

[Апис]

Насколько я понял, ответа на поставленный вопрос, нет. Каждому чётному числу соответствует пробел между соседними простыми числами, это нужно доказать.
Но прежде чем перейдём к доказательству, выясним законность одного перехода. Я прежде распишу это на черновике, потом здесь.

[Апис]

Ответа на поставленный вопрос, нет. Каждому чётному числу соответствует пробел между соседними простыми числами, это нужно доказать.
Но прежде чем перейдём к доказательству, выясним правомочность одного перехода.
Число, это свойства, размер, и интервал. Это всё одно число. Пробел между простыми числами, это интервал, выраженный через число.
Операция, $\[{\left( {2{m_n}} \right)^2}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{2{m_i} - 1}}{{2{m_i}}}} \]$ произведённая с числами, $\[2{m_i}\]$ даёт в результате количество чисел, не делящихся на числа $\[2{m_i}\]$ Можно ли этот результат перенести и на пробелы выраженными через числа $\[2{m_i}\]$ То есть, можно ли сказать, на интервале $\[\left( {2{m_n},{{\left( {2{m_n}} \right)}^2}} \right)\]$ есть пробелы только определённого размера. С числами между пробелами, которые не кратные числам $\[2{m_i}\]$ Например, n=2; 2m=4; На интервале (4,16) пробелы между простыми числами, размером только два и четыре. И так далее.

Вот этот переход от пробелов к числам и назад к пробелам при переносе на пробелы результатов полученных для чисел. И есть вопрос. Правомочны ли эти переходы?

[Апис]

Хочу предупредить, нюансы определения интервалов на которых все пробелы не больше некоторого размера не рассматривал, там дополнительное условие приблизительно такое $\[\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} = \prod\limits_{i = 1}^{{n_/}} {\frac{{2{m_i} - 1}}{{2{m_i}}}} \]$
Вопрос один, возможен ли вообще, переход от пробелов к числам и назад к пробелам при переносе на пробелы результатов полученных для чисел.

[Апис]

Верно ли следующее предположение. Есть бесконечно много интервалов, $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)\]$, для которых выполняется неравенство, $\[p_n^2 < p_{n + 1}^2 - p_n^2\]$. Например: $\[{7^2} < {11^2} - {7^2}\]$.
И верно ли предположение существования нескольких подряд интервалов, $\[\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right),\left( {p_{n + 1}^2,p_{n + 2}^2} \right)....\left( {p_{n + t}^2,p_{n + 1 + t}^2} \right)\]$, таких, что выполняются для каждого интервала неравенства. $\[p_n^2 < p_{n + 1}^2 - p_n^2\]$.
Для чего это всё?
Есть такое предположение. При очень больших числах, можно увидеть кластерное распределение простых чисел.