Доказать что последовательность беск. большая по определению

[SlayZar]

Помогите, пожалуйста, доказать что последовательность бесконечно большая по определению предела числовой последовательности.
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^4-100 n}{n^2+100}}= +\infty$

Получается, что надо доказать что при любого числа A>0 существует N(A) такой что для любого n>=N верно неравенство
$\frac{n^4-100 n}{n^2+100}>=A$
А вот что делать дальше? Как выразить n?
Помогите пожалуйста

[provincialka]

Сначала уменьшите дробь, сделав ее более простой. Для этого умееьшите числитель и увеличьте знаменатель.

[nikvic]

От Вас не требуется решать это неравенство точно.
Посмотрите, что получится при делении и числителя, и знаменателя на квадрат аргумента.

[SlayZar]

Т.е. делим на $n^2$
Получаем $\frac{n^2-100/n}{1+100/n^2}}>=A
Теперь понятно, что предел равен $+\infty$,
(т.к. 100/n и 100/$n^2$ стремятся к нулю и
предел равен пределу $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2-0}{1+0}}= +\infty$

но все равно не понимаю как доказать что $\frac{n^2-100/n}{1+100/n^2}}>=A верно при любом A?

[provincialka]

Мой совет читали? Например, замените числитель на $n^4-100n^2$. Или даже на $n^4-n^4/2$. Проверьте, при каких $n$ числитель уменьшится.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789097 писал(а):

Мой совет читали? Например, замените числитель на $n^4-100n^2$. Или даже на $n^4-n^4/2$. Проверьте, при каких $n$ числитель уменьшится.

Если заменить числитель на $n^4-n^4/2$, то он увеличится при n > кубического корня из 200.
теперь нам надо как-то увеличить знаменатель?

[gris]

Так и тянет в знаменателе к написать не просто сто, а сто чего-то

[SlayZar]

gris в сообщении #789103 писал(а):

Так и тянет в знаменателе к написать не просто сто, а сто чего-то

Я наверное туплю и чего то не понимаю, но объясните пожалуйста на каком основании мы можем просто так заменять 100 n на $(n^4)/2$ в числителе и менять 100 на что-то еще в знаменателе? Почему мы можем так делать?

[Nemiroff]

SlayZar, как доказать, что $n^2$ — бесконечно большая?
Ну вот можно так: $n^2>n$, а $n$ бесконечно большая, потому что звёзды так сложились (ну знаем мы это откуда-то и доказать можем) — так что $n^2$ уж наверное тоже будет бесконечно большой.

Вот от вас примерно того же хотят.

[provincialka]

На самом деле в этом пределе важно, что числитель ведет себя как $n^4$, а знаменатель - как $n^2$, что гораздо меньше. Вторые слагаемые можно менять достаточно свободно, не меняя только степени многочленов.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789124 писал(а):

На самом деле в этом пределе важно, что числитель ведет себя как $n^4$, а знаменатель - как $n^2$, что гораздо меньше. Вторые слагаемые можно менять достаточно свободно, не меняя только степени многочленов.

Тогда получается мы можем рассуждать так:
$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^4-100 n}{n^2+100}} = $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^4-100 n^2}{n^2+100 n}}$ = $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2 (n^2-100)}{n (n+100)}}$ = $\lim\limits_{n\to+\infty}{n (n -100)}$ = $+\infty$

Но разве нам не нужно предъявить N(A) если мы ищем предел по определению?

[provincialka]

Там в алгебре есть ошибки, $100^2\ne100$. И вообще, такие переходы надо доказать. Если действовать в таком стиле, лучше сразу применить совет nikvic
Если же вам все-таки надо найти какое-нибудь $N$ по $A$, упростите максимально левую часть.

-- 16.11.2013, 00:49 --

И не мелочитесь, заменяйте в знаменателе $100$ на $100n^2$. А знак предела вообще не пишите, пишите неравенство (оценку снизу).

[SlayZar]

provincialka в сообщении #789135 писал(а):

Там в алгебре есть ошибки, $100^2\ne100$. И вообще, такие переходы надо доказать. Если действовать в таком стиле, лучше сразу применить совет nikvic
Если же вам все-таки надо найти какое-нибудь $N$ по $A$, упростите максимально левую часть.

-- 16.11.2013, 00:49 --

И не мелочитесь, заменяйте в знаменателе $100$ на $100n^2$. А знак предела вообще не пишите, пишите неравенство (оценку снизу).

Просто у меня в задании написано доказать что предел равен бесконечности, используя определение. Можно ли в таком случае обойтись без N(A), написав , что
$\frac{n^4-100 n}{n^2+100}}$ >= $\frac{n^4-100 n^2}{n^2+100 n^2}}$ >= $\frac{n^2 (n^2-100)}{101 n^2}}$ >= $\frac{n^2-100}{101}}$ >= n

[provincialka]

А почему надо обходиться без $N(A)$? Напишите в конце $>A$и ищите, при каких $n$ это выполняется. Кстати, у вас некоторые выписанные неравенства выполняются не при всех $n$, надо это учесть.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы плохо оформлены $\TeX$ом

SlayZar
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом нормально. Вот такое:

SlayZar в сообщении #789095 писал(а):

100/n и 100/$n^2$

SlayZar в сообщении #789102 писал(а):

n > кубического корня из 200.

SlayZar в сообщении #789133 писал(а):

$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2 (n^2-100)}{n (n+100)}}$ = $\lim\limits_{n\to+\infty}{n (n -100)}$ =

SlayZar в сообщении #789133 писал(а):

N(A)

писать не нужно: каждую формулу целиком заключайте в пару долларов, отношения неравенства - \leq, \geq $\leq, \geq$, корень - \sqrt[a]{b} $\sqrt[a]{b}$.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.