Вычисление предела числовой пследовательности

[SlayZar]

Помогите пожалуйста вычислить предел числовой последовательности (n стремится к бесконечности)
$lim= \frac{a^n+3 b^n}{5 a^n+7 b^n}}$, a>0, b>0

Даже не знаю с чего начать...

[venco]

Начать с того, что и к чему стремится, продолжить знаком сравнения между $a$ и $b$.

[SlayZar]

Понятно, что неопределённость вида бесконечность на бесконечность. А как сравнить a и b...
может быть поделить на a^n?

[venco]

SlayZar в сообщении #788705 писал(а):

Понятно, что неопределённость вида бесконечность на бесконечность. А как сравнить a и b...
может быть поделить на a^n?

Очень даже можно.

[provincialka]

Если заранее не сказано почти ничего про $a$ и $b$, надо рассмотреть разные случаи. Важно, какой из параметров больше.

[SlayZar]

venco в сообщении #788727 писал(а):

SlayZar в сообщении #788705 писал(а):

Понятно, что неопределённость вида бесконечность на бесконечность. А как сравнить a и b...
может быть поделить на a^n?

Очень даже можно.

Тогда получается $lim= \frac{1+3 (b/a)^n}{5 +7 (b/a)^n}}$
Обозначим $(b/a)^n$ буквой t
Тогда имеем $lim= \frac{1+3 t}{5 +7 t}}$ при t стремящимся к бесконечности
Делим на t и понимаем что ответ = 3/7
Это правильное рассуждение и ответ?

provincialka в сообщении #788730 писал(а):

Если заранее не сказано почти ничего про $a$ и $b$, надо рассмотреть разные случаи. Важно, какой из параметров больше.

Про a и b сказано только что они больше нуля и всё!
Но ведь в рассуждении выше не важно кто из них больше...

[_Ivana]

Конечно не важно. Подставьте, например, $a=2, b=1$ и вычислите предел.

[SlayZar]

_Ivana в сообщении #788748 писал(а):

Конечно не важно. Подставьте, например, $a=2, b=1$ и вычислите предел.

$lim= \frac{2^n+3}{2^n*5+7}}$
предел получается при плюс бесконечности 1/5 а при минус бесконечности 3/7
то есть будет два ответа - при плюс бесконечности и минус бесконечности?

[_Ivana]

А вы то сами как думаете? Вам тут и подсказывали, и прямым текстом говорили уже.

[provincialka]

Вообще у вас не по правилам формулы записаны. Зачем-то знак равенства внутри предела, а куда стремится $n$ не указано. Впрочем, обычно $n\to+\infty$.

SlayZar в сообщении #788749 писал(а):

то есть будет два ответа - при плюс бесконечности и минус бесконечности?

Это о чем? Все-таки рассуждайте в терминах $a,b$. Там три случая.

[SlayZar]

Всё, понял, спасибо! Делим на $a^n$, обозначаем $(b/a)^n$ буквой t
Получаем предел $lim \frac{1+3 t}{5 +7 t}}$

и дальше три случая
1) a>b. тогда t стремится к нулю а наш предел равен 1/5
2) a=b. тогда t стремится к единице а наш предел равен 1/3
3) a<b. тогда t стремится к плюс бесконечности а наш предел равен 3/7

Теперь вроде всё правильно!? Я ничего не напутал?

Огромное спасибо за помощь!

[provincialka]

Правильно. Странно только, что модераторы вас не наказали за кривые формулы. Повезло!

[SlayZar]

provincialka в сообщении #788764 писал(а):

Правильно. Странно только, что модераторы вас не наказали за кривые формулы. Повезло!

Первый раз на сайте, не научился ещё) В следующий раз постараюсь)

Еще раз спасибо)

[provincialka]

SlayZar в сообщении #788698 писал(а):

$lim= \frac{a^n+3 b^n}{5 a^n+7 b^n}}$, a>0, b>0

$\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{a^n+3 b^n}{5 a^n+7 b^n}}$, $a>0$, $b>0$

Наведите курсор и сравните.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы плохо оформлены

SlayZar
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом нормально и так, чтобы формулы были осмыслены (например, запись $\lim = f(a_n,b_n)$ бессмысленна). Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.