Пределы, нахождение n от эпсилон

[Ubermensch]

_hum_ в сообщении #774680 писал(а):

Пусть члены последовательности $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ - это стратегические позиции расположения воинов (рядовой с идентификационным номером $n$ располагается на позиции $x_n$), а число $a$ - позиция расположения штаба (вы - советник главнокомандующего). Противник пытается прорваться к штабу, и известно, что ваша сторона не сможет противостоять по силам противнику, если за линией обороны окажется бесконечное число ваших воинов (считаем, что они сразу погибают). Спрашивается, как расположить штаб, чтобы как ни была бы близка к нему линия обороны, все равно хватило бы сил продолжать войну. Ответ и дает понятие предела - если такая позиция вообще существует, то она совпадает с пределом последовательности позиций.

Тепeрь представьте, к вам пришел главнокомандующий и спрашивает:
- Вот я тут собираюсь расположить воинов на позициях $x_n = 1/(n+1)$, а штаб на $a = 0$. Можете меня убедить, что такое расположение штаба не будет проигрышным ни при каком варианте близости линии обороны?

Ну и что вы должны делать? А вы должны рассуждать так:
предположим, что линия обороны подошла на расстояние $\varepsilon$ к $a$ . Тогда в наших войсках останутся только воины с позициями $|x_n - a| < \varepsilon$, то есть, воины с номерами, удовлетворяющими $|1/(n+1) - 0| < \varepsilon$. Надо убедиться, что таких воинов бесконечное число, а тех, кто погиб - конечное.
Как это делаем? Можно напрямую решать неравенство, получая в результате $n > 1 / \varepsilon - 1$, что означает, что все солдаты, за исключением конечного числа рядовых с номерами до $ [1 / \varepsilon - 1]$, окажутся живы. А можно немного упростить, рассудив, раз $x_n = 1/(n+1) < 1/n$, то солдаты с номерами, удовлетворяющими $1/n < \varepsilon$ будут автоматически находиться в позициях, которые ближе к штабу чем $\varepsilon$. Решаем более простое неравенство $1/n < \varepsilon$, получаем $n > 1/\varepsilon$. Итак, даже в грубом прикидочном варианте, все солдаты, начиная с номера $[1/\varepsilon]$, окажутся живы (соответственно, погибнет не больше чем $[1/\varepsilon]$)
В итоге доклалываем:
-Позиция размещена верно, потому как при приближении противника на сколь угодно близкое расстояние $\varepsilon$ мы теряем максимум $[1/\varepsilon]$ солдат, а это конечное количество.

Спасибо за наглядное определение предела. Хоть что-то стало понятно.

я не могу понять вот эти записи в тетради:
$n>6\varepsilon-3$
$n_\varepsilon=|6\varepsilon-3|$ - это как бы граничное значение $n$, при котором все члены последовательности с $n$ большим этого граничного значения будут лежать в эпсилон окрестности.
$\varepsilon=\frac{1}{30}$ - откуда это?
$n_\varepsilon=1$ ну вот это само граничное значение $n$

[provincialka]

У вас неправильные обозначения, это не модуль, а целая часть (точнее, функция. "потолок"), ее значения - целые, ведь $n$ - целое число.
про $1/30$ - не скажу, может, просто частный пример.

[Ubermensch]

Да, я знаю, что это целая часть.
Хорошо, как они нашли $n$ от эпсилон $=1$
Как найти в первой задаче $n$ от эпсилон, чтобы получилось число.

[gefest_md]

(Оффтоп)

Ubermensch в сообщении #774718 писал(а):

$\varepsilon=\frac{1}{30}$ - откуда это?

Это с Июдой связано. Переходите к другому учителю!

[provincialka]

Вообще формула странная, число $n$ должно расти при убывании $\varepsilon$.

[gefest_md]

Ubermensch в сообщении #774724 писал(а):

Как найти в первой задаче $n$ от эпсилон, чтобы получилось число.

Чем хуже описание с помощью епсилон ($f(\varepsilon)$), взятия целой части числа ($n_\varepsilon=|...|$)?

[gefest_md]

Ubermensch,

Ubermensch в сообщении #774436 писал(а):

$a$ является пределом последовательности, если для любой $\varepsilon$-окрестности в ней находится бесконечное множество членов последовательности, а вне её - конечное.

Это верно, но это не определение. Используете определение из Вашего учебника.

Формула, которую я доказывал "переводится" так (для последовательности $\{x_n\}$):

Цитата:

Для любого вещественного положительного $\varepsilon$ существует такой натуральный номер $N$, что для всех натуральных номеров $n\geqslant N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$. Тогда число $a$ является пределом последовательности $\{x_n\}$. (Вместо $N$ можно писать $n_0$, $n_{\varepsilon}$ или $n(\varepsilon)$).

[_hum_]

gefest_md в сообщении #774794 писал(а):

Ubermensch,

Ubermensch в сообщении #774436 писал(а):

$a$ является пределом последовательности, если для любой $\varepsilon$-окрестности в ней находится бесконечное множество членов последовательности, а вне её - конечное.

Это верно, но это не определение. Используете определение из Вашего учебника.

Это почему же не определение. Определение, просто не в терминах "дельта, эпсилон".

Ubermensch, и достаточно говорить "...если вне ее находится лишь конечное число элементов последовательности", потому как если вне ее конечное, то это автоматом означает, что в ней - бесконечное.

[gefest_md]

Оно равносильно "обычным" определениям, но я не встречал её в качестве таковой ни в одном учебнике. Наверное каким-то критериям не отвечает.

[provincialka]

Неудобно проверять.

[_hum_]

provincialka в сообщении #774810 писал(а):

Неудобно проверять.

Да в точности так же, как и с "дельта, эпсилон". Просто преподавателям легче сказать - вот тебе "дельта, эпсилон"-определение - тупо заучи и потом проверь выполнение, вместо того, чтобы еще объяснять, откуда оно берется (мол, умные поймут, а дуракам и не надо).

-- Пн окт 14, 2013 00:40:18 --

У Зорича "промежуточный вариант":

Цитата:

Определение 2. Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любой окрестности $V(A)$ точки $A$ существует такой номер $N$ (выбираемый в зависимости от $V(A)$ ), что все члены последовательности, номера которых больше $N$, содержатся в указанной окрестности точки $A$.

[Otta]

_hum_ в сообщении #774822 писал(а):

Да в точности так же, как и с "дельта, эпсилон". Просто преподавателям легче сказать - вот тебе "дельта, эпсилон"-определение - тупо заучи и потом проверь выполнение, вместо того, чтобы еще объяснять, откуда оно берется (мол, умные поймут, а дуракам и не надо).

Почему Вы решили, что преподавателям это легче? Мне легче определение предела функции рассказывать, используя произвольные окрестности, а не симметричные, и на практике показывать то же. На мой взгляд, неосознанные поиски какого-то дельта только затуманивают существо вопроса. Пусть уж всю окрестность ищут, хоть и несимметричную. Пусть из графических соображений, хоть из каких. Будет еще время для формализма, начало первого курса, на мой взгляд, не слишком для него подходит: можно за деревьями леса не увидеть, уделяя слишком пристальное внимание деталям несущественным.

[_hum_]

Otta

(Оффтоп)

Otta в сообщении #774834 писал(а):

_hum_ в сообщении #774822 писал(а):

Да в точности так же, как и с "дельта, эпсилон". Просто преподавателям легче сказать - вот тебе "дельта, эпсилон"-определение - тупо заучи и потом проверь выполнение, вместо того, чтобы еще объяснять, откуда оно берется (мол, умные поймут, а дуракам и не надо).

Почему Вы решили, что преподавателям это легче?

Да потому что преподаватель, который дает сразу формальное определение, уже вправе требовать от студента умения его проверять. А тот, который идет по альтернативному пути, еще должен будет потом дополнительно объяснять, как выглядит соотношение между "теорией" и "практикой". То есть, выполнять "двойную работу". Хорошие преподы понимают, что "лучше день потерять, потом за пять минут долететь", что усвоение студентом понятия важнее, чем его определения, и в дальнейшем сторицей окупятся, но на моем пути таких встречалось не много. Тем более многие думают, что студентам нематических специальностей это и вовсе необязательно.

[Ubermensch]

Я, определённо не самый прилежный, студент мехмата. Нам на лекциях преподаватель давал сухие определения из книг. Таким студентам, как я, сейчас и приходится разбираться самостоятельно. Подозреваю, что комфортно себя чувствуют при такой подаче материала лишь лицеисты и олимпиадники.

[_hum_]

Ubermensch, я не мехматовец, но мой вам совет - пытайтесь всегда понять в чем суть введенных понятий, задавайтесь вопросом "зачем они вообще вводились и нужны?". Потому как осознать суть важнее, чем заучить определение. Упустите сейчас этот момент, потом все сложнее и сложнее будет контролировать ситуацию, ибо на понятиях, которые вы изучаете на первом курсе, потом строится значительная часть анализа.
И еще, читайте несколько учебников сразу - в одном может быть написано непонятно, зато в другом все будет просто и легко.

-- Пн окт 14, 2013 01:47:15 --

И еще, посматривайте временами книжки Босса. Они не совсем строгие, но зато "живые" - являются удачным дополнением того, что в строгих учебниках обычно "выносится за скобки", а для понимания этого очень не достает.