Пределы, нахождение n от эпсилон

[Ubermensch]

$\frac {44-40\varepsilon}{25\varepsilon}<n$

[Aritaborian]

Ubermensch, а приведите-ка нам определение предела, а то что-то я сомневаюсь, понимаете ли вы, о чём идёт речь.

[Ubermensch]

$a$ является пределом последовательности, если для любой $\varepsilon$-окрестности в ней находится бесконечное множество членов последовательности, а вне её - конечное.

[_hum_]

(Оффтоп)

а все потому, что дают определение вместо того, чтобы рассказать суть понятия "предел последовательности"...вот и начинают студенты заучивать алгоритм поиска "н от эпсилон".

[arseniiv]

(2 _hum_.)

_hum_ в сообщении #774437 писал(а):

вот и начинают студенты заучивать алгоритм поиска "н от эпсилон"

Вообще-то такие задания даже есть.

[_hum_]

arseniiv

(Оффтоп)

они для того, чтобы студент умел формализовывать понятие пределпа. Но прежде-то он должен усвоить само это понятие. Не считаете?

Вот, кстати, довольно оригинальный подход к толкованию понятие предела. Может, окажется вам полезным: ликбез для кружка Математического центра 7 класса

[provincialka]

Можно поступить по другому. Нужно подобрать $n$ так, чтобы выполнялось неравенство $\frac{44}{25n+40}<\varepsilon$. Достаточно потребовать, чтобы выполнялось $\frac{50}{25n}<\varepsilon$. потому что $\frac{44}{25n+40}<\frac{50}{25n}$. Имеем $\frac{50}{25n} =\frac2n<\varepsilon$ при $n>\frac{2}{\varepsilon}$

Примерно так надо действовать в других примерах, где выражение под модулем достаточно сложное.

[Ubermensch]

$n>\frac{2}{\varepsilon}$ - это и есть конечный ответ?
мне непонятен метод замен. на каком основании мы может отбрасывать и прибавлять. где грань, которую нельзя переходить, преобразовывая выражение таким образом

[gefest_md]

Надо доказать эту формулу $\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists N\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}\left(n\geqslant N\to\left|\frac{3n-4}{5n+8}-\frac{3}{5}\right|<\varepsilon\right)\right)$.

Вторая сложнее кажется. Иногда получается разложить на множители числитель и знаменатель. Здесь не так. Я могу её решить только с помощью теорем об арифметических действиях над последовательностями.

В третьей задаче докажите по индукции и используете неравенство $\frac{1}{n!}\leqslant\frac{1}{2^{n-1}}$, $n\geqslant 1.$ В этом случае, доказывая формулу (выше), Вы достигнете такого этапа:

$\left|\frac{4}{n!}-0\right|=\frac{4}{n!}\leqslant\frac{4}{2^{n-1}}<\frac{4}{2^{\log_2\frac{4}{\varepsilon}}}=\frac{4}{\frac{4}{\varepsilon}}=\varepsilon.$

[bot]

Ubermensch в сообщении #774546 писал(а):

$n>\frac{2}{\varepsilon}$ - это и есть конечный ответ

Ну так проверьте. Если $n>\frac{2}{\varepsilon}$, то $\frac{2}{n}<\varepsilon$, следовательно $\frac{50}{25n}<\varepsilon \ldots$

[provincialka]

Особенность этих задач в том, что нам не нужно находить все подходящие $n$, нужно только показать, что достаточно большие $n$ подходит.

[gefest_md]

Давайте я для иллюстрации докажу первую задачу. Она учебная. Вы сможете аналогично доказать третью.

$\forall\varepsilon\in\mathbb{R}\left(\varepsilon>0\to\exists N\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}\left(n\geqslant N\to\left|\frac{3n-4}{5n+8}-\frac{3}{5}\right|<\varepsilon\right)\right)$.

Проходим через формулу слева направо.

1. Пусть $\varepsilon\in\mathbb{R}$ произвольное.

2. Пусть $\varepsilon>0.$

3. Пусть $N\in\mathbb{N}$ - такое фиксированное число, что $N>\frac{44-40\varepsilon}{25\varepsilon}.$ (Дальше используя это $N$, доказывем подформулу от $\forall n$ до конца)

4. Пусть $n\in\mathbb{N}$ произвольное.

5. Пусть $n\geqslant N.$ То есть, $n>\frac{44-40\varepsilon}{25\varepsilon}.$

Тогда $25n>\frac{44-40\varepsilon}{\varepsilon}$.

Тогда $25n+40>\frac{44-40\varepsilon}{\varepsilon}+40=\frac{44}{\varepsilon}.$

6. И последнее: $\left|\frac{3n-4}{5n+8}-\frac{3}{5}\right|=\frac{44}{25n+40}<\frac{44}{\frac{44}{\varepsilon}}=\varepsilon.$

[provincialka]

Вторая задача несложная, если применить оценку. Например, для достаточно больших $n$ имеем $7n+6\le n^2$, поэтому числитель не превосходит $9n^2$.

Идея состоит в том, чтобы с помощью оценок оставить в числителе и знаменателе одночлены.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #774574 писал(а):

3. Пусть $N\in\mathbb{N}$ - такое фиксированное число, что $N>\frac{44-40\varepsilon}{25\varepsilon}.$

Ubermensch,
На шаге 3 лучше так: Пусть $N=\text{наименьшее натуральное число, превосходящее }\frac{44-40\varepsilon}{25\varepsilon}$. Лучше, чтобы знак равенства был там. Т.е. $N=f(\varepsilon)$. Но $\varepsilon$ (и $n$ тоже) названо произвольным потому, что $\varepsilon\not=g(\alpha)$, ни для какого $g$ и $\alpha$. Я бы так сказал.

[_hum_]

Пусть члены последовательности $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ - это стратегические позиции расположения воинов (рядовой с идентификационным номером $n$ располагается на позиции $x_n$), а число $a$ - позиция расположения штаба (вы - советник главнокомандующего). Противник пытается прорваться к штабу, и известно, что ваша сторона не сможет противостоять по силам противнику, если за линией обороны окажется бесконечное число ваших воинов (считаем, что они сразу погибают). Спрашивается, как расположить штаб, чтобы как ни была бы близка к нему линия обороны, все равно хватило бы сил продолжать войну. Ответ и дает понятие предела - если такая позиция вообще существует, то она совпадает с пределом последовательности позиций.

Тепeрь представьте, к вам пришел главнокомандующий и спрашивает:
- Вот я тут собираюсь расположить воинов на позициях $x_n = 1/(n+1)$, а штаб на $a = 0$. Можете меня убедить, что такое расположение штаба не будет проигрышным ни при каком варианте близости линии обороны?

Ну и что вы должны делать? А вы должны рассуждать так:
предположим, что линия обороны подошла на расстояние $\varepsilon$ к $a$ . Тогда в наших войсках останутся только воины с позициями $|x_n - a| < \varepsilon$, то есть, воины с номерами, удовлетворяющими $|1/(n+1) - 0| < \varepsilon$. Надо убедиться, что таких воинов бесконечное число, а тех, кто погиб - конечное.
Как это делаем? Можно напрямую решать неравенство, получая в результате $n > 1 / \varepsilon - 1$, что означает, что все солдаты, за исключением конечного числа рядовых с номерами до $ [1 / \varepsilon - 1]$, окажутся живы. А можно немного упростить, рассудив, раз $x_n = 1/(n+1) < 1/n$, то солдаты с номерами, удовлетворяющими $1/n < \varepsilon$ будут автоматически находиться в позициях, которые ближе к штабу чем $\varepsilon$. Решаем более простое неравенство $1/n < \varepsilon$, получаем $n > 1/\varepsilon$. Итак, даже в грубом прикидочном варианте, все солдаты, начиная с номера $[1/\varepsilon]$, окажутся живы (соответственно, погибнет не больше чем $[1/\varepsilon]$)
В итоге доклалываем:
-Позиция размещена верно, потому как при приближении противника на сколь угодно близкое расстояние $\varepsilon$ мы теряем максимум $[1/\varepsilon]$ солдат, а это конечное количество.