Соответствие между систем линейных диофантовых не/равенств

[outmind]

Здравствуйте,

Есть ли соответствие между решениями систем линейных диофантовых равенств и неравенств.

Пытаюсь понять переносятся ли границы для решения систем равенств на системы неравенств.

Пусть $A \in \mathbb{Z}^{m\times{}n}, x \in {\mathbb{N}^{+}}^{n\times{}1},b\in\mathbb{Z}^{m\times{}1}$ - целочисленные матрицы.
Означает ли, что есть малое положительное решение $Ax=b$, ттт когда есть малое положительное решение $Ax \ge b$?

Столкнулся с вопросом при изучении этой статьи:
"Bounds on Positive Integral Solutions of Linear Diophantine Equations" I. Borosh and L. B. Treybig
Пытаюсь понять как эти границы переносятся на неравенства, т.к. в другой статье автор формулирует результат статьи Borosh и Treybig как:

"Let $d_1, d_2 \in \mathbb{N}^+$, let $B$ be a $d_1\times d_2$ integer matrix and let $b$ be a $d_1 \times 1$ integer matrix. Let $d \ge d_2$ be an upper bound on the absolute values of the integers in $B$ and $b$. Say that there exists a vector $v \in \mathbb{N}^{d_2}$ which is a solution to the equation set $Bv\ge b$ and such that $v(i)\le d^{cd_1}$ for all i, $1 \le i \le d_2$.
"

Буду благодарен, если поможете. Можно просто ссылку.

UPDATE 1: Извиняюсь за неполноту описания. Обновил описание и оформил в $\TeX$.

[provincialka]

Какие границы? Линейное неравенство, конечно, имеет решение, хоть диофантово, хоть обычное.

[bot]

provincialka в сообщении #763671 писал(а):

Линейное неравенство, конечно, имеет решение

А уравнение - не всегда.

[provincialka]

А, это системы, не заметила. Связь между равенствами и неравенствами в целочисленном случае довольно сложная. Даже если есть решения. Кстати, у вас коэффициенты положительные?
решение системы неравенств - многоугольник, возможно бесконечный. На его границах могут быть решения равенств, но расположены они могут быть достаточно прихотливо.
Думаю, вам надо уточнить вопрос, хотя смутно я предполагаю, чего вы хотите.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

outmind, наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

А вообще вопрос тривиален.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
формулы поправил и вернул. Тег math практически всегда ставить не нужно - ставьте просто доллары по краям формул.

outmind в сообщении #763667 писал(а):

Означает ли, что есть малое положительное решение $Ax=b$, ттт когда есть малое положительное решение $Ax \ge b$?

Понятно, что если $x_0: Ax_0=b$, то $Ax_0\geq b$. С другой стороны, для $m=n=1$ каковы множества решений уравнения $2x=3$ и неравенства $2x\geq 3$?
Надеюсь, что я правильно понял вопрос.

[outmind]

Предположим, что решения данного равенства нет, но есть решение для неравенства.

Доказано, что если есть решение равенств, то компоненты решения $x$ будут ограничены $K\in \mathbb{N^+}$.

Можно ли исходя из этого сказать что-нибудь про ограниченность решения $Ax\ge b$