Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

dvb в сообщении #757498 писал(а):

Но дело в том, что в минимуме энергия частицы мала, и нет смысла использовать релятивистские уравнения.

Как раз в минимуме скорость максимальна и минимальна вблизи "стенок". Но Вы, наверное, имеете ввиду малость полной энергии.

[Lvov]

ИгорЪ в сообщении #757402 писал(а):

Lvov
Я понимаю ваш вывод. Однако стационарность в сто это нонсенс. Убирая время вы лишаете уравнения релятивистской инвариантности.

Уважаемый ИгорЪ, хотя уравнение Клейна-Гордона релятивистcки инвариантно, но в данном случае об этом лучше не вспоминать. Дело в том, что в нашей задаче в используемой системе отсчета фигурирует неподвижная потенциальная ловушка электрона с квадратичным нарастанием запирающего потенциала. Переходя в другую ИСО, мы уже будем иметь дело с движущейся ловушкой. При этом картина осцилляции электронной волновой функции станет весьма сложной и ненаглядной. Поэтому в данном случае разумно оставаться в исходной ИСО, памятуя, что мы имеем дело с релятивистскими законами движения электрона..

dvb в сообщении #757498 писал(а):

г. Lvov у меня к Вам следующие вопросы:
1) Какую реальную физическую систему пытаетесь Вы описать этой моделью? Если, скажем, это электрон, то кто (а, вернее, что) создает для него квадратичный потенциал? Если же это просто упражнение по решению какого-то дифференциального уравнения, тогда вопрос снимается.
2) Вопрос связан с первым. Как известно, любой гладкий потенциал в минимуме может аппроксимироваться квадратичной функцией. Можно было бы подумать, что Вы ищете решение задачи поведения заряженной частицы в какой-нибудь специально созданной электромагнитной ловушке, или, скажем, в твердом теле. Но дело в том, что в минимуме энергия частицы мала, и нет смысла использовать релятивистские уравнения. В связи с этим, вопрос: сходится ли Ваше решение к решению для обычного осциллятора в пределе малых энергий?
3) Вопрос факультативный. Почему бы Вам не применить уравнение Клейна-Гордона к безмассовому фотону в квадратичном потенциале, отвлекаясь от того, как можно было бы его изготовить? Если же Вы настаиваете на том, что фотон имеет массу покоя, сообщите рецепт перехода в систему отсчета, где он покоится.

1) Г.dvb, мои задачи (решение релятивистских уравнений Клейна-Гордона и Дирака для одномерного осциллятора) абстрактные, чисто академического плана. Хорошо известное и используемое для обоснования фотонной теории в КЭД аналогичное решение уравнения Шредингера неточно в том смысле, что оно не учитывает релятивистские и спиновые свойства электрона. Поэтому было интересно получить более точные решения для одномерного квантового электронного осциллятора.
2) Итак, я не имел в виду какой-либо прикладной физической модели. При малых значениях крутизны стенок потенциальной ловушки и малых квантовых числах новые значения энергии электрона уменьшаются и приближаются к соответствующим значениям для осциллятора Шредингера, как по абсолютному, так и по относительному значению. Если же крутизна стенок ловушки остается значительной, то даже в случае нулевого квантового состояния снижение нового значения энергии остается заметным. Что же касается вида волновой функции, то даже при малых значениях энергии в случае релятивистского осциллятора имеются концевые пространственные колебания функции, отсутствующие в осцилляторе Шредингера.
3) Создать потенциальную ловушку для фотона, видимо, можно с помощью соответствующей конфигурации поля тяготения (это уже задача ОТО). Но мне не приходило в голову решать такую задачу. О наличии массы покоя фотона я ничего не знаю. Однако могу предположить, что вследствие нелинейного взаимодействия с вакуумом весьма жесткие гамма-кванты могут обладать массой покоя.

В заключение замечу, что круг моих интересов связан с обоснованием квантовой теории и СТО.

С уважение О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #757534 писал(а):

Хорошо известное и используемое для обоснования фотонной теории в КЭД аналогичное решение уравнения Шредингера неточно в том смысле, что оно не учитывает релятивистские и спиновые свойства электрона.

Да вы шо? Вы, видимо, не в тот учебник глядели. Именно их оно и учитывает. Ну если вам ЛЛ-4 не по зубам, возьмите Ахиезера-Берестецкого какого-нибудь...

[Lvov]

Munin в сообщении #756948 писал(а):

Lvov в сообщении #756931 писал(а):

Цитата:

Ничего подобного в электромагнитной теории мы не знаем.

Откройте Ландау-Лифшица "Теория поля" на § 52, и узнайте.

В ответ в сообщении #75722 0 я написал:
"Я считаю, что электромагнитные волны свободно распространяются в пространстве. Интерпретация же их поведения в некоторой прямоугольной области пространства в виде набора осцилляторов, подобных квантовому электронному осциллятору Шредингера, - плод математических фантазий, завуалированных в научную форму".

Теперь же, разобравшись в проблеме, я понял, где в § 52 ЛЛ-2 допущена ошибка. В § 52 мысленно выделяется участок пространства в виде прямоугольного параллелепипеда и здесь рассматриваются наборы компонент бегущих волн с целом числом пространственных периодов вдоль каждой стороны параллелепипеда. Именно указанная целочисленность периодов рассматриваемых волновых колебаний ограничивает (урезает) набор возможных волновых колебаний в свободном пространстве. И это обстоятельство после некоторых математических манипуляций позволяет получить гамильтониан, отвечающий счетному множеству осцилляторов.

Munin в сообщении #757602 писал(а):

Lvov в сообщении #757534
писал(а):

Цитата:

Хорошо известное и используемое для обоснования фотонной теории в КЭД аналогичное решение уравнения Шредингера неточно в том смысле, что оно не учитывает релятивистские и спиновые свойства электрона.

Да вы шо? Вы, видимо, не в тот учебник глядели. Именно их оно и учитывает. Ну если вам ЛЛ-4 не по зубам, возьмите Ахиезера-Берестецкого какого-нибудь...

Г. Munin, извините, но я в свою очередь, посоветую Вам посмотреть учебник по нерелятивистской квантовой механике.

С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #757987 писал(а):

Именно указанная целочисленность периодов рассматриваемых волновых колебаний ограничивает (урезает) набор возможных волновых колебаний в свободном пространстве.

Как сказал бы Munin, докажите. Докажите, что функцию нельзя разложить в ряд Фурье.

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #757534 писал(а):

... для обоснования фотонной теории в КЭД аналогичное решение уравнения Шредингера неточно в том смысле, что оно не учитывает релятивистские и спиновые свойства электрона.

Всё это учитывается уравнением Дирака для электрона. Странные вещи Вы говорите про электроны в КЭД.

[Munin]

Lvov в сообщении #757987 писал(а):

Теперь же, разобравшись в проблеме, я понял, где в § 52 ЛЛ-2 допущена ошибка. В § 52 мысленно выделяется участок пространства в виде прямоугольного параллелепипеда и здесь рассматриваются наборы компонент бегущих волн с целом числом пространственных периодов вдоль каждой стороны параллелепипеда. Именно указанная целочисленность периодов рассматриваемых волновых колебаний ограничивает (урезает) набор возможных волновых колебаний в свободном пространстве. И это обстоятельство после некоторых математических манипуляций позволяет получить гамильтониан, отвечающий счетному множеству осцилляторов.

Так... так... так... а ошибка-то где? Ошибки не вижу, всё правильно, "некоторые математические манипуляции". В том числе, устремление объёма к бесконечности. После чего, набор колебаний ничем не ограничен, но остаётся счётным.

Lvov в сообщении #757987 писал(а):

Г. Munin, извините, но я в свою очередь, посоветую Вам посмотреть учебник по нерелятивистской квантовой механике.

А вы хоть смутно догадываетесь, что КЭД - это не нерелятивистская квантовая механика, а более сложная теория, на квантовой механике основанная, но изучаемая позже и по другом учебникам?

Хороша у вас логика: смотрите в учебник по нерелятивистской квантовой механике, и жалуетесь, что там релятивистские свойства электрона не учтены!!! (Спиновые, как раз, даже там учтены.) Откройте учебник по КЭД (релятивистская квантовая механика электрона входит в КЭД как составная часть теории, уравнение Дирака для свободного и взаимодействующего электрона), и получите там то, чего желали.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #758024 писал(а):

Ошибки не вижу, всё правильно, "некоторые математические манипуляции". В том числе, устремление объёма к бесконечности. После чего, набор колебаний ничем не ограничен, но остаётся счётным.

Тут будет достаточно взять объем несколько больший размера волнового пакета и не обязательно бесконечный. Волну конечного размера (ограниченную функцию) можно разложить в ряд Фурье на конечном интервале, хоть ряд и дискретный. "Промежуточную" частоту получим из суперпозиции полного набора базисных функций.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #758000 писал(а):

Lvov в сообщении #757534 писал(а):

Цитата:

... для обоснования фотонной теории в КЭД аналогичное решение уравнения Шредингера неточно в том смысле, что оно не учитывает релятивистские и спиновые свойства электрона.

Всё это учитывается уравнением Дирака для электрона. Странные вещи Вы говорите про электроны в КЭД.

Уважаемый VladimirKalitvianski, конечно в КЭД основное электронное уравнение - уравнение Дирака. Но это уравнение в КЭД появляется позднее. А начинается КЭД с введения понятия фотонов на основании осцилляторов Шредингера (см. ЛЛ-4, 1980, §2, абзац перед формулой (2,12)). В монографии В.Г.Левича "Курс теоретической физики", II, ч.V, 1971, §10 говорится: "с задачей о гармоническом осцилляторе мы встретимся также и в квантовой электродинамике, где произвольное электромагнитное поле представляется в виде суперпозиции независимых квантовых осцилляторов (Шредингера, - примеч. от Lvov). Поэтому я и веду речь о нерелятивистском уравнении Шредингера.

Munin в сообщении #758024 писал(а):

Ошибки не вижу, всё правильно, "некоторые математические манипуляции". В том числе, устремление объёма к бесконечности. После чего, набор колебаний ничем не ограничен, но остаётся счётным.

В том-то и дело, что набор колебаний остается счетным, в то время как набор волновых векторов вакуумного решения уравнения Максвелла является множеством мощности континуума.

VladimirKalitvianski в сообщении #758039 писал(а):

Тут будет достаточно взять объем несколько больший размера волнового пакета и не обязательно бесконечный. Волну конечного размера (ограниченную функцию) можно разложить в ряд Фурье на конечном интервале, хоть ряд и дискретный. "Промежуточную" частоту получим из суперпозиции полного набора базисных функций.

Если сделать разложение волнового пакета в ряд Фурье на конечном интервале (точнее в конечном параллелепипеде, замеч. Lv), то, во-первых, картина ЭМ поля будет искажена, а именно пакет будет многократно повторяться в соседних прямоугольных областях пространства. Во-вторых, принцип суперпозиции здесь ни при чем. Вы, наверное хотели сказать о методе интерполяции, при поиске функций для промежуточных значений частоты и волнового вектора. Результат интерполяции - умножение счетного множества осцилляторов.

С уважением О.Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #758107 писал(а):

Munin в сообщении #758024 писал(а):

Ошибки не вижу, всё правильно, "некоторые математические манипуляции". В том числе, устремление объёма к бесконечности. После чего, набор колебаний ничем не ограничен, но остаётся счётным.

В том-то и дело, что набор колебаний остается счетным, в то время как набор волновых векторов вакуумного решения уравнения Максвелла является множеством мощности континуума.

Это не имеет значения если суперпозицией полного набора базисных векторов можно описать любую разумную функцию. Разлагают также и в интеграл Фурье, но амплитуда каждой гармоники обратно пропорциональна корню из объема и при бесконечном пространстве такая амплитуда бесконечно мала. Так что всегда важна сумма/интеграл гармоник = волновой пакет. Длинный и почти монохроматический волновой пакет хорошо представляется одной гармоникой в ящике.

Цитата:

VladimirKalitvianski в сообщении #758039 писал(а):

Тут будет достаточно взять объем несколько больший размера волнового пакета и не обязательно бесконечный. Волну конечного размера (ограниченную функцию) можно разложить в ряд Фурье на конечном интервале, хоть ряд и дискретный. "Промежуточную" частоту получим из суперпозиции полного набора базисных функций.

Если сделать разложение волнового пакета в ряд Фурье на конечном интервале (точнее в конечном параллелепипеде, замеч. Lv), то, во-первых, картина ЭМ поля будет искажена, а именно пакет будет многократно повторяться в соседних прямоугольных областях пространства. Во-вторых, принцип суперпозиции здесь ни при чем. Вы, наверное хотели сказать о методе интерполяции, при поиске функций для промежуточных значений частоты и волнового вектора. Результат интерполяции - умножение счетного множества осцилляторов.

Нет, что я хотел сказать, то и сказал. Многократного повторения нет, так как все пространство у нас в одном единственном объеме. Ваша электромагнитная волна должна поглотиться/отразиться/рассеяться до его стенок на всегда имеющемся веществе. Рассматривать ЭМП в пустом пространстве бессмысленно - оно имеет смысл только, как внешняя сила в уравнениях движения зарядов.

[Munin]

Lvov в сообщении #758107 писал(а):

Уважаемый VladimirKalitvianski, конечно в КЭД основное электронное уравнение - уравнение Дирака. Но это уравнение в КЭД появляется позднее. А начинается КЭД с введения понятия фотонов на основании осцилляторов Шредингера

Во-первых, КЭД всё равно с какого конца рассказывать: с электронного или с фотонного. В одних учебниках так, в других иначе.

Во-вторых, вы всё время твердите, что фотоны вводятся на основании Шрёдингера - так вот это ошибка. Шрёдингер там вовсе ни при чём. Даже если похож - это, грубо говоря, не тот Шрёдингер.

Lvov в сообщении #758107 писал(а):

В том-то и дело, что набор колебаний остается счетным, в то время как набор волновых векторов вакуумного решения уравнения Максвелла является множеством мощности континуума.

Не-а, в физике о мощности бесконечных множеств так просто судить нельзя. Например, нельзя никак физически отличить рациональное число от иррационального.

Lvov в сообщении #758107 писал(а):

Во-вторых, принцип суперпозиции здесь ни при чем.

Увы, как раз при чём. И вам стоило бы получше изучить квантовую механику, чтобы понять слова VladimirKalitvianski.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #758110 писал(а):

Волну конечного размера (ограниченную функцию) можно разложить в ряд Фурье на конечном интервале, хоть ряд и дискретный. "Промежуточную" частоту получим из суперпозиции полного набора базисных функций.
VladimirKalitvianski в сообщении #758039 писал:

Цитата:

Lvov:
Если сделать разложение волнового пакета в ряд Фурье на конечном интервале (точнее в конечном параллелепипеде), то, во-первых, картина ЭМ поля будет искажена, а именно пакет будет многократно повторяться в соседних прямоугольных областях пространства. Во-вторых, принцип суперпозиции здесь ни при чем. Вы, наверное, хотели сказать о методе интерполяции, при поиске функций для промежуточных значений частоты и волнового вектора. Результат интерполяции - умножение счетного множества осцилляторов.

Нет, что я хотел сказать, то и сказал. Многократного повторения нет, так как все пространство у нас в одном единственном объеме.

Munin в сообщении #758245 писал(а):

Цитата:

Lvov:
принцип суперпозиции здесь ни при чем.

Увы, как раз при чём. И вам стоило бы получше изучить квантовую механику, чтобы понять слова VladimirKalitvianski.

Г, VladimirKalitvianski, пожалуйста поясните, о какой "промежуточной" частоте Вы ведете речь? Это какие-то дополнительные частоты, помимо полученных при разложении пространственно ограниченной волны в ряд Фурье?
И еще, почему я говорил о картинках волнового поля, повторяющегося в соседних клетках. Ведь строго говоря Фурье разложение (но не Фурье-интеграл) применимо только для периодических функций. Конечно, мы можем принимать во внимание лишь одну основную прямоугольную область, игнорируя повторяющиеся другие.

Munin в сообщении #758245 писал(а):

Во-вторых, вы всё время твердите, что фотоны вводятся на основании Шрёдингера - так вот это ошибка. Шрёдингер там вовсе ни при чём. Даже если похож - это, грубо говоря, не тот Шрёдингер.

Следуя советам г. Munin'а, я стал внимательно читать указанную литературу, и вот что понял:
Разложение ограниченного параллелепипедом волнового электромагнитного (ЭМ) поля по множеству "осцилляторов", не надо понмать слишком буквально. Согласно ЛЛ-2 §52 получаемый набор классических нерелятивистских осцилляторов (точечные массы, колеблющиеся под действием упругих сил), фигурирует не в исходном координатном пространстве, а некоторых абстрактных пространствах комплексных амплитуд спектральных составляющих вектора-потенциала ЭМ волн. При этом каждый осциллятор рассматривается в отдельном пространстве, где в качестве независимой координаты с точностью до постоянного множителя выступает сумма амплитуд $a_k+a^*_k$, см. формулы (52,13) и (52,14). Таким образом, строго говоря, ЭМ волны внутри некоторого прямоугольного объема пространства изоморфны набору нерелятивистских осцилляторов в пространствах комплексных спектральных амплитуд этих волн.
Но поскольку рассматриваются нерелятивистские классические осцилляторы, то естественно, что их квантовыми аналогами будут нерелятивистские осцилляторы Шредингера. Применение же в данном случае для квантования осцилляторов релятивистского уравнения Клейна-Гордона было бы неуместным.

С уважением О Львов

[VladimirKalitvianski]

Lvov в сообщении #758644 писал(а):

Г, VladimirKalitvianski, пожалуйста поясните, о какой "промежуточной" частоте Вы ведете речь? Это какие-то дополнительные частоты, помимо полученных при разложении пространственно ограниченной волны в ряд Фурье?

Да, это частоты, не собственные для данной задачи. В классическом (не квантовом) случае Вы можете нарисовать кривую с "периодом", не совпадающим с периодами собственных функций. Такая функция будет иметь не нулевые "проекции" на собственные функции (она им не "ортогональна"), и, значит, может быть представлена, как суперпозиция собственных функций.

Цитата:

И еще, почему я говорил о картинках волнового поля, повторяющегося в соседних клетках. Ведь строго говоря Фурье разложение (но не Фурье-интеграл) применимо только для периодических функций. Конечно, мы можем принимать во внимание лишь одну основную прямоугольную область, игнорируя повторяющиеся другие.

Нет, любую непрерывную функцию можно представить в виде ряда Фурье, за исключением, может быть, в граничных точках, то есть, имеется ввиду сходимость ряда в интегральном смысле.

Что касается "соседних объемов", то там сам ряд будет давать, конечно, то же самое в силу периодичности базисных функций, но нам там не известна сама функция. Точнее, мы считаем ее равной нулю вне основного объема, так что обходимся одним объемом. Варьируя его размеры, мы можем с лихвой охватить любую разумную функцию и это и имеется ввиду. Даже такая идеализация волнового пакета, как бегущая монохроматическая волна $\cos(\omega t- kx)$ в основном объеме может быть представлена, как суперпозиция стоячих (собственных) гармоник с переменными амплитудами: $\cos(\omega t)\cdot\cos(kx)+\sin(\omega t)\cdot\sin(kx)$. В большом объеме можно всегда подобрать "собственное" значение $k_n$ сколь угодно близкое к $k$.

[Munin]

Lvov в сообщении #758644 писал(а):

Разложение ограниченного параллелепипедом волнового электромагнитного (ЭМ) поля по множеству "осцилляторов", не надо понмать слишком буквально.

Его надо понимать теоретически. Можете вернуться к началу теоретической механики, где каждой механической системе ставится в соответствие одночастичная задача в абстрактном конфигурационном пространстве - и эта задача полностью эквивалентна исходной. При этом, в конфигурационном пространстве можно выбирать любую удобную систему координат. Та же операция производится и здесь.

См. ЛЛ-1 "Механика", Савельев "Основы теоретической физики. Т. 1. Механика, электродинамика".

Lvov в сообщении #758644 писал(а):

При этом каждый осциллятор рассматривается в отдельном пространстве

Не обязательно. Можно считать всех их в одном пространстве - просто уже приведёнными к собственным колебаниям. См. ЛЛ-1 "Механика" глава 5 "Малые колебания".

Lvov в сообщении #758644 писал(а):

Но поскольку рассматриваются нерелятивистские классические осцилляторы, то естественно, что их квантовыми аналогами будут нерелятивистские осцилляторы Шредингера.

Они называются (нерелятивистские) квантовые осцилляторы. Они не называются "осцилляторы Шрёдингера". Ну забудьте вы этого словесного уродца.

Осцилляторы, к сожалению, рассмотрены в ЛЛ-3 недостаточно подробно (§ 23 "Линейный осциллятор"). Рекомендую учебник Мессиа "Квантовая механика", где осциллятору посвящена целая глава 12 (конец 1 тома). Там достаточно прочитать раздел 1 этой главы - в нём уже вводятся "лестничные операторы", они же "операторы повышения и понижения", они же "рождения и уничтожения" $a$ и $a^\dagger$.

Lvov в сообщении #758644 писал(а):

Применение же в данном случае для квантования осцилляторов релятивистского уравнения Клейна-Гордона было бы неуместным.

Хорошо, если вы это поняли.

-- 29.08.2013 15:48:55 --

VladimirKalitvianski в сообщении #758671 писал(а):

Нет, любую непрерывную функцию можно представить в виде ряда Фурье

Непрерывная в ограниченной области → ряд Фурье.
Непрерывная периодическая → ряд Фурье.
Непрерывная непериодическая в неограниченной области → интеграл Фурье.
При том, мощность множества функций во всех трёх случаях - $\mathfrak{c}\equiv 2^{\aleph_0}$ - мощность континуума. И даже мощность множества кусочно-непрерывных функций (имеющих по определению не более счётного числа точек разрыва) - $\mathfrak{c}.$

Только мощность множества не непрерывных функций - $2^\mathfrak{c}>\mathfrak{c}.$ Очевидно, за счёт всюду разрывных функций.

[Lvov]

VladimirKalitvianski в сообщении #758671 писал(а):

Да, это частоты, не собственные для данной задачи. В классическом (не квантовом) случае Вы можете нарисовать кривую с "периодом", не совпадающим с периодами собственных функций. Такая функция будет иметь не нулевые "проекции" на собственные функции (она им не "ортогональна"), и, значит, может быть представлена, как суперпозиция собственных функций.

Уважаемый VladimirKalitvianski, извините, но я все же не сумел разобраться, о каких собственных функциях и несобственных частотах Вы ведете речь?
Могу предположить, что "собственные функции" - это совокупность функций ряда Фурье. Их частоты кратны некоторой минимальной частоте, отвечающей периоду Фурье-разложения. Несобственные же функции - это периодические функции внутри интервала Фурье-разложения с частотой не кратной ни одной из частот Фурье-составляющих. Например, отрезок синусоиды мы помещаем в несколько больший интервал Фурье-разложения, не кратный периоду колебаний исходной синусоиды. Тогда синусоида есть несобственная функция с несобственной частотой.
Но, похоже, я эту вопрос понимаю неправильно, поскольку в таком случае не возникает проблемы представления рассматриваемого отрезка синусоиды в виде суперпозиции упомянутых "собственных" функций Фурье-разложения? В таком случае отрезок синусоиды является простой суммой Фурье-компонент. Пожалуйста, проясните вопрос.

И еще один вопрос ко всем участникам обсуждения темы. В случае электромагнитного волнового пакета конечных размеров мы можем выбрать интервал Фурье-разложения несколько больший размеров волнового пакета, но в общем случае произвольный. В таком случае спектр частот того или иного варианта Фурье-разложения получается разный. С точки зрения математики это не имеет значения, после сложения всех Фурье-компонент, мы получим тот же самый волновой пакет. Но с физических позиций, каждая Фурье компонента отвечает некоторому количеству фотонов с частотой, присущей этой компоненте. Выходит, что представление волнового пакета в виде набора фотонов неоднозначно в части частот и количества фотонов для каждой из частот?
А как обстоит дело в реальности?

С уважением О.Львов