Касательная к наклоненному эллипсу

[reqyz]

Алексей К. в сообщении #757253 писал(а):

Алексей К. в сообщении #68853 писал(а):

Вот как это выглядит:

да, очевидно вы правы, в условии забыл дописать, про известную точку т3 - центр эллипса, эта точка вычесляется как пересечение перпендикуляров к точкам т1 и т2

[gris]

Задание центра, возможно, даёт единственность решения, но именно задание, так как нормаль к эллипсу вовсе не проходит через его центр.

(Оффтоп)

Перпендикуляр к точке? Оригинально.

[ewert]

Задание центра -- это уже переопределённость: это два дополнительных параметра, свободен же лишь один.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #757255 писал(а):

Внутренние пунктирчики снизу напрасны.

Согласен, они нелогичны, как и верхние. Делалось в доформную эпоху, eps-source не сохранился, исправить не могу. Скорее всего, поленился аккуратно подбирать шаг для параметра при рисовании гиперболы. Типа знаменатель не обнулился, и сойдёт; гипербола вместе с асимптотами нарисовалась как единая кривая. А пунктир должен был быть только для асимптот.

-- 24 авг 2013, 14:04:56 --

reqyz в сообщении #757259 писал(а):

в условии забыл дописать, про известную точку т3 - центр эллипса, эта точка вычесляется

Про эксцентриситет Вы забыли, наверное, дописать. Слово трудное, но...

[ewert]

(Оффтоп)

Нет, верхние сойдут, это ведь фантомная кривая. А вот некрасиво именно то, что продолжение ветвей снизу вышло пунктиром.

-- Сб авг 24, 2013 14:09:31 --

Алексей К. в сообщении #757265 писал(а):

Про эксцентриситет Вы забыли, наверное, дописать. Слово трудное,

Оно станет гораздо легче, если заменить его отношением полуосей. Но тогда другая проблема -- оно допускается не любое (вообще говоря).

[reqyz]

Алексей К. в сообщении #757265 писал(а):

ewert в сообщении #757255 писал(а):

Внутренние пунктирчики снизу напрасны.

Согласен, они нелогичны, как и верхние. Делалось в доформную эпоху, eps-source не сохранился, исправить не могу. Скорее всего, поленился аккуратно подбирать шаг для параметра при рисовании гиперболы. Типа знаменатель не обнулился, и сойдёт; гипербола вместе с асимптотами нарисовалась как единая кривая. А пунктир должен был быть только для асимптот.

-- 24 авг 2013, 14:04:56 --

reqyz в сообщении #757259 писал(а):

в условии забыл дописать, про известную точку т3 - центр эллипса, эта точка вычисляется

Про эксцентриситет Вы забыли, наверное, дописать. Слово трудное, но...

эксцентриситет - слово для меня новое. В связи может не большой осведомленностью в этом, но, если я правильно понял его значение из википедии, то это искривление относительно окружности. Эллипс не кривой ищем, правильный, но повернутый. Не придирайтесь к моему плохому знанию понятий пожалуйста)

доп вопрос: реально ли нахождение стандартно эллипса(не вращаемого) для первоначальной задачи? без центральной точки?

[ewert]

reqyz в сообщении #757276 писал(а):

Эллипс не кривой ищем, правильный, но повернутый. Не придирайтесь

Так ведь не можно не придраться. Что такое кривой эллипс?...

reqyz в сообщении #757276 писал(а):

реально ли нахождение стандартно эллипса(не вращаемого)

и что такое вращаемый эллипс?...

[reqyz]

ewert в сообщении #757281 писал(а):

reqyz в сообщении #757276 писал(а):

Эллипс не кривой ищем, правильный, но повернутый. Не придирайтесь

Так ведь не можно не придраться. Что такое кривой эллипс?...

reqyz в сообщении #757276 писал(а):

реально ли нахождение стандартно эллипса(не вращаемого)

и что такое вращаемый эллипс?...

стандартный эллипс, это эллипс, уравнение которого выглядит так (x-c1)^2/a^2+(y-c2)^2/b^2=1
уравнение эллипса под углом я не знаю, но при желании можно найти в интернете.

А по сути задачи можете помочь?

[Алексей К.]

reqyz в сообщении #757168 писал(а):

Задача весьма необычная:

Задача вполне обычная и достаточно простая.

reqyz в сообщении #757168 писал(а):

Помогите люди добрые, кто чем может

Могу помочь готовыми формулами из имеющегося у меня текста. Надеюсь, с поворотами и переносами в удобную (по крайней мере, для моей задачи) систему координат Вы справитесь сами.

Полагаю, что это полезная для людей справочная информация.

Параметрическая кривая имеет вид

$$ \vec{r}(t)=\dfrac{\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}(1{-}t)^2+2\begin{pmatrix}p_w\\q_w\end{pmatrix}(1{-}t)t+j\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}t^2} {(1{-}t)^2+2w(1{-}t)t+jt^2},\quad j=\pm1\quad(\text{для Вас~~}j=+1)$$

(случай $j=-1$ даёт исключительно гиперболы с разрывом между $0\le t\le 1$). Здесь

$$\begin{pmatrix}p_w\\q_w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}pw\\qw\end{pmatrix},$$

а $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$ --- точка пересечения прямых (возможно, бесконечно удалённая, т.е. при $w=0$ эллипс с параллельными касательными).
Положив $A=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ (как на моём рисунке), получим неявное уравнение

$$q_w^2x^2 - 2p_wq_w xy + (p_w^2+j-w^2)y^2+2wq_wy-q_w^2=0.$$

The invariants of the quadratic form are

$$ \Delta=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{10}\\ a_{12} & a_{22} & a_{20}\\ a_{10} & a_{20} & a_{00} \end{array} \right| = -j q_w^4,\qquad % \begin{array}{l} \delta= \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right| = (j-w^2)q_w^2,\\[1.5ex] S = a_{11}+a_{22}=p_w^2+q_w^2+j-w^2. \end{array}$$

Отсюда и делаем вывод, когда это эллипс, и каковы его параметры. В данном случае, при фиксированных $p,q,j=1$, вес $w$ является параметром семейства коник (выпуклых на $t\in[0;1]$.) с заданными концами, заданными касательными на концах и заданной контрольной точкой $(p,q)$.

Если Вам это кажется слишком сложным, то не стоит браться за такую задачу. Или теорию поучить основательно.

[reqyz]

Спасибо) буду разбираться)

[gris]

Хотя у ТС в заголовке и стартовом сообщении говорится о повёрнутом, наклонённом эллипсе, сейчас он говорит о эллипсе с заданным и хорошим направлением осей (они перпендикулярны, так что одной). Но тогда уж о задании центра нужно забыть. А так может быть и действительно написать уравнения на 4 коэффициента?

[Алексей К.]

reqyz

Вы злоупотребляете цитированием (нарушаете Правила форума).
Эти длиннющие цитаты предыдущих сообщений никому не нужны.
И жрут бумагу на принтере. Предлагаю почистить свои последние сообщения (кнопка Правка).

[reqyz]

Я в начале пытался вывести формулу для нахождения обычного эллипса для своей задачи, без заданного центра, но пришёл к выводу что не всегда такой эллипс будет существовать, то-есть не для любых пересекающихся прямых в определенных точках можно найти касающийся их обычный эллипс

[ewert]

reqyz в сообщении #757284 писал(а):

А по сути задачи можете помочь?

Уже давно всеми поможено, и даже как минимум с двух сторон (теперь вот и с третьей). Вам же чётко объяснили, и как решать, и что решений будет бесконечно много.

Самый простой логически способ -- это всё-таки через уравнения. Даны: уравнения двух прямых $A_1x+B_1y+C_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2=0$ и точек на них $M_1(x_1,y_1),\quad M_2(x_2,y_2)$ соответственно. Найти: уравнение эллипса (вообще говоря, кривой второго порядка) $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$.

Решение:

$\begin{cases}ax_1^2+bx_1y_1+cy_1^2+dx_1+ey_1+f=0;\\ax_2^2+bx_2y_2+cy_2^2+dx_2+ey_2+f=0;\\B_1(2ax_1+by_1+d)-A_1(bx_1+2cy_1+e)=0;\\B_2(2ax_2+by_2+d)-A_2(bx_2+2cy_2+e)=0.\end{cases}$

Вот эту систему из четырёх линейных уравнений с шестью неизвестными $a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$ и надо решать. Общее решение легко выписывается и будет содержать, естественно, два произвольных параметра. Один из них геометрического значения не имеет (он соответствует умножению искомого уравнения на произвольное число), другой же задаёт некоторое однопараметрическое семейство кривых.

[reqyz]

мы так найдем пересечение с эллипсом, а уравнение касательной для эллипса выглядит как x1*(x+c1)/a^2+y1*(y+c2)/b^2=1 я уже решал такую системку, ответ будет весьма однозначен, появится дополнительное условие которое будет показывать что эллипс будет существовать только для весьма частных случаев.