Три попарно независимых события (тервер)

[Ktina]

Приведите пример трёх событий $A,~ B,~ C$ (не забудьте указать пространство элементарных исходов), которые попарно независимы (т.е. любые два из них независимы), однако $P(A \cap B\cap C)\ne P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$

Долго думала над этой задачей и в конце концов придумала два примера, но они мне кажутся какими-то уж слишком "притянутыми за ушки".

Пример 1.

(Здесь)

Есть четыре девочки: Катя, Катенька, Катюшка и Екатерина.
Катенька и Катюшка — блондинки, остальные — нет.
Катенька и Екатерина носят серьги, остальные — нет.
Катя и Катенька учатся на "отлично", остальные — нет.

Из этих четырёх девочек наудачу выбирается одна.
Событие $A$: выбранная девочка — блондинка.
Событие $B$: выбранная девочка носит серьги.
Событие $C$: выбранная девочка учится на "отлично".

Пространство элементарных исходов:

$$\left\{\text{Катя, Катенька, Катюшка, Екатерина}\right\}$$

Все три события попарно независимы, так как вероятность каждого события равна $\dfrac{1}{2}$, а попарные вероятности каждых двух равны $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
При этом вероятность пересечения сразу всех трёх событий умудряется не быть равной $\dfrac{1}{8}$, но $\dfrac{1}{4}$

Пример 2.

(Тут)

Тот же пример, только на языке чисел.

Из чисел 1, 2, 3 и 4 наудачу выбрали одно.

Событие $A$: выбранное число — простое.
Событие $B$: выбранное число — чётное.
Событие $C$: выбранное число меньше трёх.

Пространство элементарных исходов:

$$\left\{\text{1, 2, 3, 4}\right\}$$

Все три события попарно независимы, так как вероятность каждого события равна $\dfrac{1}{2}$, а попарные вероятности каждых двух равны $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$
При этом вероятность пересечения сразу всех трёх событий умудряется не быть равной $\dfrac{1}{8}$, но $\dfrac{1}{4}$

Пожалуйста, помогите решить.

[ИСН]

Короче, нужно вырезать из картошки фигуру, вписанную в единичный куб, и такую, что все её проекции всюду одинаковой толщины, но которая сама при этом - не куб.
Классический пример строится на чём-нибудь простом и симметричном. Есть три числа, сумма их нечётна (это тупо дано); событие A - это что первое число чётно.

[Ktina]

ИСН, Спасибо!
Если он классический, то где о нём можно прочитать?
Я в Сети искала, не нашла. Пришлось самой придумывать.

[Otta]

Ktina, а зачем о нем читать? Придумывать самой гораздо полезнее. Навскидку еще парочку могу подбросить. Только смысл? Главное - вывод: из попарной независимости независимость в совокупности не следует.

[Ktina]

Otta в сообщении #755681 писал(а):

Ktina, а зачем о нем читать? Придумывать самой гораздо полезнее. Навскидку еще парочку могу подбросить. Только смысл? Главное - вывод: из попарной независимости независимость в совокупности не следует.

А ещё у меня такое подозрение, что если пространство элементарных исходов меньше 4, то пример не получится.
Я — красивая, я — сильная, я права?

[Otta]

Нет.

[Ktina]

Otta в сообщении #755687 писал(а):

Нет.

Да ладно???

[Otta]

Правда-правда.

3 элементарных исхода - это алгебра из 8 событий. Такой простор.

[Ktina]

Otta в сообщении #755689 писал(а):

Правда-правда.

3 элементарных исхода - это алгебра из 8 событий. Такой простор.

Всё равно не получается

[Otta]

А, если по классической схеме, так и не получится. Вы это имели в виду?

Upd По неклассической, впрочем, тоже. Так что да, Вы правы.

[cool.phenon]

Есть классический пример, называется примером Бернштейна: берём тетраэдр, красим три его грани в три разных цвета $A_{i}$, а четвёртую во все 3 цвета. Исход стохастического эксперимента : тетраэдр упал на землю гранью цвета $A_{i}$. Ну а дальше всё как по схеме.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #755714 писал(а):

... , а четвёртую во все 3 цвета. ...

Это как? Красный+зелёный+синий=белый?

[cool.phenon]

Ktina
Ну, например, взять точку в той грани, провести к ней из вершин грани отрезки -- разделим грань на 3 треугольника, их и покрасим.

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #755714 писал(а):

...Исход стохастического эксперимента : тетраэдр упал на землю гранью цвета $A_{i}$. ...

cool.phenon в сообщении #755721 писал(а):

Ktina
Ну, например, взять точку в той грани, провести к ней из вершин грани отрезки -- разделим грань на 3 треугольника, их и покрасим.

И если падает на "трёхцветную" грань, чему равно $i$?

[cool.phenon]

Если говорить, скажем, $A_{1}$-- зелёный, $A_{2}$-- красный, $A_{3}$--синий, то это и будет событие $A_{1}\cap A_{2} \cap A_{3}$