Упростить двойной радикал

[nnosipov]

arqady в сообщении #753423 писал(а):

Кстати, $\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1}$ уже можно представить в виде такой суммы.

Имеется в виду сумма (обычных) радикалов от рациональных чисел с рациональными коэффициентами.

Предлагаю найти эту упрощающую сумму, а заодно и обсудить различные подходы к решению подобных задач.

[Edward_Tur]

$\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1}=\sqrt[3]{\frac{100}{9}}+\sqrt[3]{\frac{16}{9}}-\sqrt[3]{\frac{5}{9}}$

[nnosipov]

Edward_Tur, а как нашли?

[Edward_Tur]

nnosipov в сообщении #753828 писал(а):

Edward_Tur, а как нашли?

Примитивно. Искал в виде
$\sqrt[3]{\frac{a}{q}}+\sqrt[3]{\frac{b}{q}}-\sqrt[3]{\frac{c}{q}}$, где $abc=20^3$.

[nnosipov]

Спасибо, понятно. Мне интересна алгоритмическая сторона этого дела. Почему-то системы компьютерной алгебры автоматом такие задачи не решают. Исключение составляют вложенные квадратные радикалы, да и то не любые. Например, вот такой $\sqrt{4+3\sqrt{2}}$ Maple почему-то не упрощает.

[arqady]

Имеется следующее обобщение:

$$\sqrt[3]{m^2(m+n)}-\sqrt[3]{mn^2}-\sqrt[3]{(m+n)^2n}=\sqrt[3]{m^3-n^3+6m^2n+3mn^2-3(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{mn(m+n)}}$$

При $m=n=1$ получается известное тождество Рамануджана.

[nnosipov]

Да, о тождествах сразу подумалось.