Площадь треугольника

[Побережный Александр]

Задан треугольник со сторонами $\sqrt2$, $\sqrt3$ и $\sqrt7$.
Какая площадь у этого треугольника?

[nnosipov]

А что здесь олимпиадного? Банальное упражнение на формулу Герона.

[Побережный Александр]

Хорошо, усложним задачу. )
Задан треугольник со сторонами $\sqrt2$, $\sqrt3$ и $\sqrt[4]7$.
Какая площадь у этого треугольника?

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #753404 писал(а):

Хорошо, усложним задачу.

Да уж ... Ну, теперь точно никто не решит.

[Aritaborian]

В чём фишка-то? В первом случае площадь равна $\frac{\sqrt5}{2}$, во втором — никому не интересному выражению с корнем под корнем. И?

[arqady]

Побережный Александр в сообщении #753404 писал(а):

Хорошо, усложним задачу. )
Задан треугольник со сторонами $\sqrt2$, $\sqrt3$ и $\sqrt[4]7$.
Какая площадь у этого треугольника?

Вам задачка:
Можно ли эту площадь представить в виде суммы (с коэффициентами из $\{-1,1\}$) радикалов от рациональных чисел?

[nnosipov]

arqady в сообщении #753412 писал(а):

Можно ли эту площадь представить в виде суммы (с коэффициентами из $\{-1,1\}$) радикалов от рациональных чисел?

Но зачем же ограничивать коэффициенты, пусть уж будут произвольными рациональными числами.

Или там ответ положительный? Хотя нет, отрицательный.

[Побережный Александр]

Даю ответ, на всякий случай.
В первом случае площадь $\frac{\sqrt5}{2}$,
во втором случае $\frac{\sqrt{10\sqrt7-8}} {4}$

[arqady]

nnosipov в сообщении #753415 писал(а):

Но зачем же ограничивать коэффициенты, пусть уж будут произвольными рациональными числами.

А их можно под корни засунуть, а снаружи останутся только знаки.
Кстати, $\sqrt[3]{7\sqrt[3]{20}-1}$ уже можно представить в виде такой суммы.

[nnosipov]

arqady в сообщении #753423 писал(а):

А их можно под корни засунуть, а снаружи останутся только знаки.

Похоже, я этих фокусов не знаю. Не понимаю, как это облегчает решение задачи. Ведь набор радикалов произволен --- и количество любое, и степень любая.

[Terraniux]

(Оффтоп)

Олимпиадная задача...

[mihailm]

(Оффтоп)

для школьной олимпиады сойдет первым номером)

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»