Док-во Гипотезы Лежандра

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

да и примерчик не ахти $x_n=f_M(n)+O\left(\frac{n}{\ln^M n}\right)$,

Было лень формулировать.

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

т.к. у вас возростающая функция, а у меня убывающая смотрим (1).

не играет роли.

Вывода $(8)$ у Вас по-прежнему нет, а значит и нет доказательства.

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

Во-первых и без О неравенство выполняется (без довеска).

О чем это?

Ну и т.п.

[megamix62]

Рассмотрим в (3) третий член - под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$

Очевидно

$$\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}$$

верно, причём начиная с $n\ge16$.

Рассмотрим функцию:

$$f(x)=\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}$$

.

Функция $f(x)$ монотонно убывает при $x>x_0$, что равносильно $f'(x)<0$ при $x>x_0$.

Вычислим функции $f(x)$ производную:

$$f'(x)=\frac{1-\ln\ln x}{x(\ln {x})^2} $$

Максимум функции $f(x)$ находим уравнением

$$f'(x)=0$$

и он равен:

$$x_{\max}\approx 15,15426,$$

так что функция имеет единственный максимум в этом значении и только начиная с него монотонно убывает, т.е. $f'(x)<0$. при $x\ge16$.

С вышеизложенным получаем

$$\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}$$

, отсюда

$$n\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}$$

,

и тем более

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}>n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(9)$$

Сравнивая неравенства (8) и (9) мы приходим противоречию..

Теорема доказана.

[Sonic86]

megamix62 в сообщении #752715 писал(а):

Рассмотрим в (3) третий член - под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$

Sonic86 в сообщении #752614 писал(а):

Вывода $(8)$ у Вас по-прежнему нет, а значит и нет доказательства.

[megamix62]

Sonic86 в сообщении #752776 писал(а):

megamix62 в сообщении #752715 писал(а):

Рассмотрим в (3) третий член - под О, тогда неравенство примет вид

$$(n+1)\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<n\frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(n+1)}(8)$$

Sonic86 в сообщении #752614 писал(а):

Вывода $(8)$ у Вас по-прежнему нет, а значит и нет доказательства.

Есть Вывод (9).

Докажите обратное , флаг Вам в руки

[Someone]

megamix62, а что означает символ $O$-большое? Вы как-то очень лихо его выкидываете и начинаете сравнивать без него.

[megamix62]

Someone в сообщении #752920 писал(а):

megamix62, а что означает символ $O$-большое? Вы как-то очень лихо его выкидываете и начинаете сравнивать без него.

Я символ $O$ лихо не выкидываю, я сравниваю функции под ним...

И они почти одинаковые и разница при $n=78319$....равна $0,22613$

что можно их спокойно откинуть, как и предполагалось с самого начала и сказке конец...

[Someone]

А не имеет значения, что они почти одинаковые. Пусть даже они точно одинаковые, это ничего не значит.
Если написано $\alpha(x)=x+O(\sqrt{x})$ и $\beta(x)=x+O(\sqrt{x})$ при $x\to+\infty$, то отсюда ничего интересного про соотношение между $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ не следует, кроме, может быть, того, что $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$.

Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?

[megamix62]

[

vorvalm в сообщении #752494 писал(а):

megamix62 в сообщении #752466 писал(а):

Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,

$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

Но по гипотезе Лежандра должно быть

$P_{n+1}<P_n+\sqrt{P_n}$

При $P_{n+1}<P_n+\sqrt{P_n}$ - это уже Гипотеза Брокара

Доказательство Гипотезы Брокара:

Цитата:

Между квадратами подряд идущих простых чисел, за исключением первых двух, всегда найдётся хотя бы 4 простых числа. Иначе говоря, все числа последовательности $\pi(p_{n+1}^2) - \pi(p_n^2)$, кроме первого, не меньше 4, где $\pi(x) $— количество простых чисел, меньших x.

Ввиду того, что минимальное расстояние между простыми числами равно 2, соответственно мы докажем более широкую версию Гипотезы Брока́ра:

Между $n^2$ и $(n+2)^2 $ всегда найдутся хотя бы 4 простых числа при $n>3 $.

Доказательство :

Из Следствия#2 Теоремы 1.

$P_{n}+\sqrt{P_{n}} = P_{n}(1+ P_{n}^{-0.5})>P_{n}\sqrt[n]P_{n}$ при $n>483$, - для всякого натурального числа n между $n^2$ и $n(n+1)$ всегда найдётся простое число.

Доказательство Гипотезы разбиваем на 4 этапа, имеем 4 простых числа да и разница между $n^2$ и $(n+2)^2 $ равна $4n+4$.

1.В первой лунке между $n^2$ и $n^2 +n$ согласно Следствию#2 находится простое число.

2.Во второй лунке между $n^2 +n$ и $n^2 +n+ \sqrt{n^2 +n} $ , а точнее между $n^2 +n$ и $n^2 +2n$ согласно Следствию#2 находится простое число.

3.В третьей лунке между $n^2 +2n$ и $n^2 +2n+\sqrt{n^2 +2n}$, а точнее между

между $n^2 +2n$ и $n^2 +3n+1$ согласно Следствию#2 тоже находится простое число.

$n^2 +2n+\sqrt{n^2 +2n}$<$n^2 +2n+(n+1)$=$n^2 +3n+1$.

4.В четвертой лунке между между $n^2 +3n+1$ и $(n+2)^2 $ согласно Следствию#2 находится простое число , причем

$n^2 +3n+1+\sqrt{n^2 +3n+1}$<$n^2 +3n+1+(n+2)$<$(n+2)^2 $

Гипотеза Брокара (расширенная версия) доказана.

-- 07.08.2013, 20:05 --

Someone в сообщении #753029 писал(а):

А не имеет значения, что они почти одинаковые. Пусть даже они точно одинаковые, это ничего не значит.
Если написано $\alpha(x)=x+O(\sqrt{x})$ и $\beta(x)=x+O(\sqrt{x})$ при $x\to+\infty$, то отсюда ничего интересного про соотношение между $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ не следует, кроме, может быть, того, что $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$.

Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?

$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ у меня это отношение эквивалентности $\alpha(x)$ и $\beta(x)$

Цитата:

Если написано $\alpha(x)=x+O(\sqrt{x})$ и $\beta(x)=x+O(\sqrt{x})$

То у меня $\alpha(x)=\beta(x)$

[Someone]

megamix62 в сообщении #753031 писал(а):

То у меня $\alpha(x)=\beta(x)$

Так это неверно.
Но Вы тщательно избегаете ответа на вопрос, что означает символ $O$-большое.

[shwedka]

Someone в сообщении #753029 писал(а):

А не имеет значения, что они почти одинаковые. Пусть даже они точно одинаковые, это ничего не значит.
Если написано $\alpha(x)=x+O(\sqrt{x})$ и $\beta(x)=x+O(\sqrt{x})$ при $x\to+\infty$, то отсюда ничего интересного про соотношение между $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ не следует, кроме, может быть, того, что $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$.

Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?

Коллега, при всем уважении, все же


$\alpha(x)=x+O(\sqrt{x})$ и $\beta(x)=x+O(\sqrt{x})$ при $x\to+\infty$,
влечет
$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1+O(x^{-\frac12})$

[Someone]

shwedka в сообщении #753308 писал(а):

Колега, при всем уважении, все же

Согласен.

[vorvalm]

У Лежандра несколько гипотез о простых числах. Одна из них:

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n},\;\;n>30,$ (К.Прахар,"Распределение простых чисел",стр.14-15)

[megamix62]

vorvalm в сообщении #753697 писал(а):

У Лежандра несколько гипотез о простых числах. Одна из них:

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n},\;\;n>30,$ (К.Прахар,"Распределение простых чисел",стр.14-15)

Во многих случаях $p_{n}=k^2-2$ и добавка в p_{n}^{0.525}=(k^2-2)^{0.525}<k^{1.05}>k

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$ следует

p_n<k^2<$p_{n+1}<p_n+\sqrt{p_n}<k^2+k$<k^2+2k+1<(k+1)^2
-------------------------------------------------

-- 11.08.2013, 11:22 --

Cash в сообщении #750397 писал(а):

megamix62 в сообщении #750316 писал(а):

В правой части равенстве (2) "львиная доля" приходится на $\ln(n)$ , $\ln(\ln(n))$ и достаточно рассмотреть с ними два неравенства из (3)

Недостаточно.

Достаточно

Если

$$\ln(P_{n})=\ln(n)+\ln(\ln(n))+O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}). (2)$$

и взяв неравенство , которое выпоняется при $n\ge4$

$$\ln(P_{n}) \leqslant\ln(n)+\ln(\ln(n))+1.(2')$$

мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$, заменим его на 1.

Причем из

$$\ln(n)+\ln(\ln(n))<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))$$

следует

$$\ln(n)+\ln(\ln(n))+1<\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1$$

.

С выше сказанным , получаем неравенство (3)

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n))+1)<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))+1).(3)$$

После преобразований (3) перепишем

$$(n+1)(\ln(n)+\ln(\ln(n)))+1<n(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))).(3')$$

а далее по тексту....

Deggial:[реклама удалена]

[vorvalm]

megamix62 в сообщении #753031 писал(а):

vorvalm в сообщении #752494
писал(а):
megamix62 в сообщении #752466
писал(а):
Просто результат революционный ...
У меня выполняется при $n>20$,

$$P_{n+1} <P_{n}\sqrt[n]P_{n}<P_{n}+2\sqrt{P_{n}}. $$

Но по гипотезе Лежандра должно быть

$P_{n+1}<P_n+\sqrt{P_n}$

При $P_{n+1}<P_n+\sqrt{P_n}$ - это уже Гипотеза Брокара

Так какую же гипотезу вы имеете в виду?

[Cash]

megamix62 в сообщении #753844 писал(а):

Cash в сообщении #750397
писал(а):
megamix62 в сообщении #750316
писал(а):
В правой части равенстве (2) "львиная доля" приходится на $\ln(n)$ , $\ln(\ln(n))$ и достаточно рассмотреть с ними два неравенства из (3)
Недостаточно.

Достаточно

Уважаемый megamix62, если Вы хотите продолжать дискуссию, то лучше ответить на вопрос

Someone в сообщении #753029 писал(а):

Так Вы знаете, что означает символ $O$-большое?

Возникает сильное подозрение, что Вы абсолютно этого не понимаете.
Иначе не писали бы глупости типа такого

megamix62 в сообщении #753844 писал(а):

мы видим, что довесок $O(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}) $ меньше 1 при $n\ge4$

Что касается Вашего "доказательства", то неравенство $(3')$ попросту неверно.