Метод изображений для диэлектриков

[Omega]

Очень прошу помощи: всё никак не могу разобраться в следующей задаче.
Пусть точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от плоской границы $AB$ двух бесконечно протяженных
однородных диэлектриков со значениями электрической проницаемости $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ . Определите силу, действующую на заряд.



Пожалуйста, для начала объясните мне, благодаря чему заряд-изображение $q'$ будет находится именно на расстоянии $ME=l$ от границы раздела?
И правильно ли я понимаю, что поле точечного заряда $q'$ совпадает с полем распределённых на границе раздела индуцированных зарядов именно во втором
диэлектрике (среды, с электрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$)?
Заранее спасибо.

[Alex-Yu]

Omega в сообщении #749935 писал(а):

Пожалуйста, для начала объясните мне, благодаря чему заряд-изображение $q'$ будет находится именно на расстоянии $ME=l$ от границы раздела?

Не понятно в каком смысле "почему". Так получается если честно решить электростатическую задачу. Другие объяснения возможны врядли.

-- Пн июл 29, 2013 02:31:33 --

Omega в сообщении #749935 писал(а):

И правильно ли я понимаю, что поле точечного заряда $q'$ совпадает с полем распределённых на границе раздела индуцированных зарядов именно во втором
диэлектрике (среды, с электрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$)?

Нет. Поскольку поле (а значит и поляризация) неоднородное, то кроме поверхностных зарядов возникают еще и объемные. Вообще плотность зарядов (кроме внешних) это $\rho=-{\rm div}{\bf P}$. Вот если бы поляризация была однородной, то заряды возникали бы только на поверхности. Также заряды возникают только на поверхности в подобном случае, когда среда снизу проводящяя. Но не диэлектрическая.

[Munin]

Omega в сообщении #749935 писал(а):

Пожалуйста, для начала объясните мне, благодаря чему заряд-изображение $q'$ будет находится именно на расстоянии $ME=l$ от границы раздела?

Потому что точно там находится изображение в задаче, где вместо диэлектрика - проводник. А решение задачи с диэлектриком - это линейная комбинация решения задачи с проводником, и задачи с вакуумом (в которой вообще никакого заряда-изображения нет).

Alex-Yu в сообщении #749965 писал(а):

Поскольку поле (а значит и поляризация) неоднородное, то кроме поверхностных зарядов возникают еще и объемные. Вообще плотность зарядов (кроме внешних) это $\rho=-{\rm div}{\bf P}$.

Ну не горбите. Поле неоднородное, но лапласово (везде кроме поверхности), дивергенция равна нулю. Ведь дивергенция $\mathbf{D}$ равна нулю, а $\mathbf{P}\sim\mathbf{D}.$ Чтобы были объёмные заряды, неоднородным должно быть не поле, а эпсилон. А здесь эпсилон меняется только на границе.

Omega в сообщении #749935 писал(а):

И правильно ли я понимаю, что поле точечного заряда $q'$ совпадает с полем распределённых на границе раздела индуцированных зарядов именно во втором диэлектрике (среды, с электрической проницаемостью $\varepsilon_{2}$)?

Нет, в первом. А во втором - те же самые распределённые индуцированные заряды на границе - создадут другое поле. Оно будет полем третьего мнимого заряда, $q''$ (мнимого изображения), который расположен в верхнем полупространстве, причём на расстоянии $l''\ne l$ от границы. В результате, линии поля, проходя через границу, будут преломляться, как будто свет, входящий в воду.

[Omega]

То есть,грубо говоря, как я понял, - заряд $q$ в первом диэлектрике "отталкивает" от себя на границу раздела некий заряд, который распределяется по ней таким образом, что поле, им создаваемое, в точности совпадает с полем заряда $q'$, который находится во втором диэлектрике. Далее, индуцированный заряд на границе раздела в первом диэлектрике, в свою очередь, индуцирует заряд во втором диэлектрике, - а его поле совпадает с полем точечного заряда $q''$, который должен находиться в первом диэлектрике.
Munin, правильно ли я всё понял? Спасибо.

[DimaM]

Omega в сообщении #750059 писал(а):

Далее, индуцированный заряд на границе раздела в первом диэлектрике, в свою очередь, индуцирует заряд во втором диэлектрике, - а его поле совпадает с полем точечного заряда $q''$, который должен находиться в первом диэлектрике.

Заряд в этой задаче будет только на границе. Считать его принадлежащим первому диэлектрику или второму - чистой воды вкусовщина.

[Omega]

DimaM в сообщении #750066 писал(а):

Заряд в этой задаче будет только на границе.

Ну так а как один заряд может породить два заряда-изображения?

[DimaM]

Omega в сообщении #750068 писал(а):

Ну так а как один заряд может породить два заряда-изображения?

Я несколько соврал: будет еще поляризационный заряд в непосредственной близости от $q$.
Что до двух изображений, то с каждой стороны от границы видно только одно из них.

[Omega]

DimaM, Вы меня окончательно запутали..

[DimaM]

Omega в сообщении #750075 писал(а):

Вы меня окончательно запутали..

Если вы сидите с той стороны, где находится заряд $q$, то видите поле от заряда $q$ и одного отражения $q'$ (отражение находится по другую сторону границы).
Если вы сидите за границей, видите поле от одного заряда $q''$, совпадающего с $q$ (можно еще говорить про отражение, находящееся в том же месте).

[Omega]

DimaM, спасибо, но Munin же написал, что это изображение - $q''$ не будет совпадать с $q$, а Вы считаете иначе.
Поясните, может быть я не понимаю.

[DimaM]

Omega в сообщении #750096 писал(а):

Munin же написал, что это изображение - $q''$ не будет совпадать с $q$

Тут он ошибся.
Разбор можно посмотреть в Батыгине и Топтыгине, задачи 142-144 (по изданию 1970 года).

[Omega]

DimaM, спасибо за ссылку, но, к сожалению, там приведён лишь ответ на эту задачу.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #749992 писал(а):

Ну не горбите. Поле неоднородное, но лапласово (везде кроме поверхности), дивергенция равна нулю. Ведь дивергенция $\mathbf{D}$ равна нулю, а $\mathbf{P}\sim\mathbf{D}.$ Чтобы были объёмные заряды, неоднородным должно быть не поле, а эпсилон. А здесь эпсилон меняется только на границе.

Да, пардон, ошибся. В линейном диэлектрике будет так. Дивиргенция D --- ноль, а Е -- пропорционально D. Так что и разность (т.е. Р) с нулевой дивергенцией. В итоге ноль для такой конфигурации. Заряды только на поверхности.

-- Пн июл 29, 2013 13:26:56 --

Munin в сообщении #749992 писал(а):

Потому что точно там находится изображение в задаче, где вместо диэлектрика - проводник. А решение задачи с диэлектриком - это линейная комбинация решения задачи с проводником, и задачи с вакуумом (в которой вообще никакого заряда-изображения нет).

Да, так можно. Хотя я, в свое время, поступал более формально: фурье-преобразование по $x$ и $y$, получаем обычные одномерные дифуры, решения которого сверху и снизу сшиваем. И тогда уже даже без обратного фурье-преобразования сразу видно, что сверху просто добавляется поле от фиктивного заряда снизу. Ну и для поля снизу тоже все получается очевидно.

[profrotter]

Omega в сообщении #750068 писал(а):

Ну так а как один заряд может породить два заряда-изображения?

Избавьтесь от этой мысли. Никакой заряд никого не порождает. Речь идёт о том, что электростатическое поле в верхнем полупространстве можно представить как суперпозицию полей исходного заряда и некоторого фиктивного, расположенного в нижнем полупространстве, а поле в нижнем полупространстве можно представить как суперпозицию полей исходного заряда и расположенного вместе с ним фиктивного заряда. Всё. Просто формально искомые поля можно вот таким образом рассматривать.

И нет тут никакого "метода", который позволил бы формализовать решение задачи, поскольку не существует никакого формального правила, которое позволило бы в общем случае по исходной заданной конфигурации получать систему фиктивных зарядов: каждой конкретной системе зарядов и диэлектриков будет соответствовать некоторая система фиктивных зарядов, вот только никто не знает какая. И то, как излагается рассматриваемый материал в некоторых учебниках (чаще для диэлектриков он не излагается) несомненно является глубокой методической ошибкой.

Суть метода изображений в том, чтобы подобрать систему фиктивных зарядов так, чтобы выполнялись граничные условия. Эти фиктивные заряды и называют изображениями, но они никем не порождаются, а подбираются путём творческих усилий. Когда заданы диэлектрики и точечный заряд, предполагают, что граничные условия могут быть удовлетворены введением двух фиктивных зарядов. Ну попоробовали разместить их на таком-то расстоянии от границы диэлектриков и убедились, что путём выбора величины заряда можно удовлетворить граничным условиям, что ввиду единственности решения электростатичкой задачи и означает, что найдено решение исходной задачи. Подобрали в общем.

Alex-Yu в сообщении #750103 писал(а):

Хотя я, в свое время, поступал более формально: фурье-преобразование по и , получаем обычные одномерные дифуры, решения которого сверху и снизу сшиваем. И тогда уже даже без обратного фурье-преобразования сразу видно, что сверху просто добавляется поле от фиктивного заряда снизу. Ну и для поля снизу тоже все получается очевидно.

Продемонстрируете?

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #750130 писал(а):

Продемонстрируете?

В каком смысле? Все, что только нужно, я уже сказал. Дальше -- делать нечего. Сами уж, сами... Могу, впрочем, добавить. Явно решать неоднородный дифур не надо. Надо воспользоваться тем фактом, что общее решение неоднородного уравнения это сумма ЛЮБОГО решения неоднородного и общего решения однородного. В качестве решения неоднородного уравнения берем решение без всяких границ, в однородном пространстве. Тогда вся "возня" лишь с решениями однородного уравнения, что просто до предела.

В принципе все это можно устроить и без фурье-преобразования. Но с фурье-преобразованием как-то проще получается, понятнее.