Не позиционная система счисления

[Побережный Александр]

Не позиционная система счисления.

Сформулируем основные характеристики позиционной системы счисления.

1. Точка отсчета.
Она неявно присутствует в целых числах и явно видна в десятичных дробях.
2. Направление отсчета разрядов.
Разряды по левую сторону указывают на целые числа и чем левее разряд от точки, тем больше число.
3. Количество разрядов (разряд - это место под цифру).
4. Количество состояний разряда ( другими словами количество цифр, принятых в данной системе счисления).

Можно ли уменьшить количество требований к заданию числа?
Количество чисел бесконечно. За бесконечность отвечает пункт 3 (количество разрядов).
Пункты 1,2 и 4 конечны и принимают вполне конкретные значения.
То есть, одна точка отсчета, для целых чисел направление отсчета разрядов - влево.
Пусть для определенности количество состояний разрядов или количество цифр всего два, 0 и 1.
Перенумеруем разряды начиная с 2, так как 0 и 1 заняты под цифры.
Тогда $(3;1)$ - второй от точки отсчета разряд содержит 1.
Для четырех разрядов имеем такие возможные варианты: $(2;0) (2;1) (3;0) (3;1) (4;0) (4;1) (5;0) (5;1)$.
Пример: числу $(1011)_2$ соответствует $\{(5;1)(4;0)(3;1)(2;1)\}$ или $\{(4;0)(5;1)(2;1)(3;1)\}$ или
$\{(2;1)(5;1)(3;1)(4;0)\}$ и т.д.
В такой записи порядок следования не играет роли, а число определяется однозначно.
Здесь точка отсчета и направление отсчета содержится в самой записи числа.
Получается, чтобы задать число достаточно указать количество разрядов и количество используемых цифр.
По записи числа не позиционной системы однозначно соответствует число позиционной системы.

[arseniiv]

(Немного точнее.)

Позиционная система счисления определяется не так. Позиционная система счисления с целым основанием $b > 1$ — это отображение из строк языка $L = A^+ \cup A^+\raisebox{2pt}{\textbf{\Large ,}}(A^+ \cup A^\infty)$ (это означает «конечная непустая строка цифр, за которой может идти запятая с непустой конечной или бесконечной строкой цифр»), где $A = \{0, 1, \ldots, |b|-1\}$ — цифры, в действительные числа, ставящее в соответствие строке $\alpha_n\alpha_{n-1}\cdots\alpha_0{,}\alpha_{-1}\cdots\alpha{-m}\cdots$ число $b^n\alpha_n + b^{n-1}\alpha_{n-1} + \ldots + b^0\alpha_0 + b^{-1}\alpha_{-1} + \ldots + b^{-m}\alpha_{-m} + \ldots$
Есть и обобщения, но этого определения хватает очень часто.

Если по вашим «характеристикам» 1, 2 и 4 более-менее можно понять, что речь идёт о позиционной системе счисления, если собеседник её никогда не видел, то третья совершенно неясно к чему добавлена. Запись числа в позиционной системе счисления может иметь от одного до счётного количества знаков; количество разрядов — не характеристика позиционной системы счисления, это свойство конкретной записи числа.

То, что записям чисел в позиционной системе счисления можно поставить в соответствие функции из целых чисел (номер разряда) в множество цифр, просто очевидно. Вы не открыли ничего существенного.

Побережный Александр в сообщении #748748 писал(а):

Можно ли уменьшить количество требований к заданию числа?

А зачем? Чем задание числа единственным способом хуже кучи вариантов записи множества пар? Системы счисления человек придумал для себя, и ему проще отождествлять одно число с одним представлением, а не с кучей.

[Побережный Александр]

На самом деле в первом сообщении я сформулировал саму возможность такой не позиционной системы. А история вопроса у меня была следующая. Рассматривая вычислительную технику и способы хранения информации, возник вопрос: какая система счисления оптимальна для хранения информации. В вычислительных системах используют двоичную систему.
Каждый разряд в компьютере - это некоторое маленькое устройство. Состояние разряда (в числе это цифра) это тоже некоторое устройство. То есть для отображения числа 1000 в двоичной системе потребуется 20 устройств, или 10 пар устройств. Но если таким же образом рассуждать, то для чисел до 1000 выгодней использовать шестеричную систему. То есть потребуется 18 устройств, три раза по шесть.
Таким образом, в вычислительной технике есть возможность оптимизировать хранение информации, выбирая удобную систему счисления.

[arseniiv]

Состояние разряда — это не устройство. Это обычно уровень напряжения.

[Chifu]

У вас в записи числа явно задан номер позиции, тогда зачем вы её называете непозиционной? Номер позиции участвует в "вычислении" числа.
С точки зрения кодирования информации оптимальна троичная система счисления, но двоичная была более выгодна технической реализацией. Гексабит технически сложнее реализовать, устройство будет более сложным, чем двоичное. Какая будет технология, такие и кубиты будут, но т.к. развитие получила двоичная система, то она привычнее.

[mustitz]

Этот вопрос разбирается в TAoCP. В принципе, в позиционной системе счисления основание вполне может быть отрицательным. Например, в системе счисления по основанию $-2$ нет смысла в знаке минус. Например, $1=(1)_{-2}$, $2=(110)_{-2} = (-2)^2 + (-2)^1 = 4 - 2 = 2$, $3 = (111)_{-2} = 4 - 2 + 1$, $-1 = (11)_{-2} = -2 + 1$, $-2=(10)_{-2}=-2$, $-3=-8+4+1$ и т. п. Может быть система счисления по основанию $1+i$, там вообще одна запись как для вещественных, так и для комплексных чисел. И т. п.

А определения можно давать по разному, на содержание рассматриваемого вопроса это не влияет. Если вы предложите что-то ценное и практичное, то такую систему счисления вполне могут назвать вашим именем, и начать ее усиленно изучать :)

[arseniiv]

mustitz в сообщении #748868 писал(а):

нет смысла в знаке минус

Скорее, нет нужды. Если его всё равно ставить, мир не перевернётся.

[Chifu]

Позиционные системы счисления обычно естесственные, но используются и неестесственные, это когда вес позиции задают произвольно, можете вместо номера позиции указывать её вес, т.к. это более информационный параметр. :)

[Побережный Александр]

Попробую проиллюстрировать свою идею на простом примере.
Исходные данные: рассматриваем два разряда, каждый разряд имеет два состояния 0 и 1.
При таких условиях можно представить только четыре числа.
2 и 3 номера разрядов. Возможные варианты $(2;0) (2;1) (3;0) (3;1)$.
Чтобы не использовать пары чисел, просто их переобозначим:
$(2;0)$ - это 4
$(2;1)$ - это 5
$(3;0) $ - это 6
$(3;1)$ - это 7
Эта таблица перехода играет важную роль.
Например $65$ то же самое что и $56$ и соответствует $(1,0)_2$
Интересно, как трактовать $54$ и $67$?
Таблицу перехода можно построить с другими символами.
То есть мы не сможем сказать какое это число, пока не узнаем таблицу перехода.
Если в компьютере информация считывается по байтам, то такую процедуру можно сделать и для большего количества разрядов и цифр.

[Chifu]

Четыре числа (первое - вес позиции (для простоты), второе - цифра):
$[(1, 0), (2, 0)]; [(1, 1), (2, 0)]; [(1, 0), (2, 1)]; [(1, 1), (2, 1)]$.
Это $0, 1, 2, 3$.
А что у вас там непонятно.
Ваш вариант (добавим к весу $1$, или к номеру позиции $2$):
$[(2, 0), (3, 0)]; [(2, 1), (3, 0)]; [(2, 0), (3, 1)]; [(2, 1), (3, 1)]$.
Это по вашему $4, 5, 6, 7$.
56: $[(2, 1), (3, 0)]; [(2, 0), (3, 1)]$. В нормальном виде это: $1$ и $2$ или $[(1, 2), (4, 1)]$. Число: $2+1\cdot4=6$.
65: $[(2, 0), (3, 1)]; [(2, 1), (3, 0)]$. В нормальном виде это: $2$ и $1$ или $[(1, 1), (4, 2)]$. Число: $1+2\cdot4=9$.
Добавим вес для четырёхразрядных чисел:
56: $[(1, 0), (2, 1), (4, 1), (8, 0)]$. Число: $2+4=6$.
65: $[(1, 1), (2, 0), (4, 0), (8, 1)]$. Число: $1+8=9$.
Какое число теперь к номеру позиции добавлять?
Если я правильно воспринимаю младшие и старшие разряды, то:
54: В нормальном виде это $1$ и $0$ или $[(1, 0), (4, 1)]$. Число: $0+4\cdot1=4$.
67: В нормильном виде это $2$ и $3$ или $[(1, 3), (4, 2)]$. Число: $3+4\cdot2=11$.
Для выборки кодов по битам (слова с переменной разрядностью) используется другое кодирование.

[Aritaborian]

mustitz в сообщении #748868 писал(а):

Может быть система счисления по основанию $1+i$, там вообще одна запись как для вещественных, так и для комплексных чисел

Можно подробнее? Или скажите хотя бы, где конкретно у Кнута об этом почитать.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не сформулирован точно предмет дискуссии, формулы не оформлены $\TeX$ом

Побережный Александр, сформулируйте точно предмет дискуссии. Сейчас есть только такой вопрос:

Побережный Александр в сообщении #748748 писал(а):

Можно ли уменьшить количество требований к заданию числа?

но он плохо сформулирован. Предыдущие "характеристики"

Побережный Александр в сообщении #748748 писал(а):

Сформулируем основные характеристики позиционной системы счисления.

1. Точка отсчета.
Она неявно присутствует в целых числах и явно видна в десятичных дробях.
2. Направление отсчета разрядов.
Разряды по левую сторону указывают на целые числа и чем левее разряд от точки, тем больше число.
3. Количество разрядов (разряд - это место под цифру).
4. Количество состояний разряда ( другими словами количество цифр, принятых в данной системе счисления).

тоже размыты и плохо понятно, что они значат, и называть их характеристиками как-то странно. Переформулируйте, то что Вы хотели сказать понятнее.
Наберите все формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Chifu, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.