E

[vorvalm]

Апис в сообщении #746239 писал(а):

Я бы посоветовал вам к простым числам расположенными в первой десятке или чуть больше не обращаться для примеров.

Тогда указывайте ОДЗ .

[Апис]

Someone в сообщении #743805 писал(а):

левые части формул выглядят бессмысленными

Замечанию Someone нужно давать объяснение. Просто заменить простые числа в формуле алгоритма решета Эратосфена $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ на чётные числа, обозначающие величину отрезка чревато непониманием того, что получим. К тому же для начала нужно прояснить вопрос, как изменится формула алгоритма и результат, если например, по ошибке с простыми числами вставить составное число. А потом уже делать выводы, что получится при замене простых чисел на чётные числа. Если никак не обозначить место отрезка на числовой оси, то число, обозначающее его величину, ничем не отличается просто от числа обозначающего то же отрезок на числовой оси, но с началом в точке ноль. Вроде бы, исходя из этого, я поступил правильно, приняв расстояния между простыми числами просто за чётные числа. Но вот используя их в сотворении новой формулы алгоритма, по методу использования простых чисел, требует пояснения. Someone прав. Нужно объяснить, допустима ли такая подстановка, замена простых чисел на составные числа.
Начнём сначала. Если по ошибке в простые числа затесалось составное число, то формула алгоритма решета Эратосфена будет давать принципиально неверный результат и тогда поиск погрешности вычисления теряет смысл. Просто формула будет неверной. Но вот если метод перенести на чётные числа, то есть будем считать что они простые. Мне казалось что, это закономерно и правильно, сейчас сомневаюсь. Вот уж воистину (чревато непониманием того, что получим).
Попробую объяснить ход своих рассуждений.
На интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ количество пробелов равно количеству простых чисел. Если на этом интервале все нечётные числа простые, то все пробелы будут равны двум и количество их будет вычисляться, как вычисляется количество простых чисел на интервале (0,9). Следующий шаг не все нечётные простые появились нечётные составные, которые делятся на три. Значит, появятся пробелы равные четырём. Сколько их, если количество пробелов двоек m/2, то пробелов четвёрок m/4, убираем повторы m/2+m/4-m/8/. И так далее, где остановиться, покажет равенство формулы алгоритма от простых чисел с равенством формулы алгоритма от чётных чисел. Отсюда узнаем самый большой пробел. Если есть в рассуждениях сбой. Мне его не найти, нужен взгляд со стороны.

[Someone]

Апис в сообщении #746715 писал(а):

Замечанию Someone нужно давать объяснение. Просто заменить простые числа в формуле алгоритма решета Эратосфена $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $…

Очень интересно, конечно. Я говорил о левой части, а Вы мне пытаетесь что-то объяснить про правую.

Но я ведь явно написал, что Бог с ней, с непонятной левой частью. (Кстати, почему Вы пишете $n^/$, а не $n'$?) У Вас же там написаны два противоречащих друг другу неравенства. Как быть с этим?

[Апис]

Апис в сообщении #743757 писал(а):

$\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} \approx \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Приблизительно равно, обозначает, если $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} > \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ то $\prod\limits_{i = 1}^{{n^/}} {\frac{{2n_i^/ - 1}}{{2n_i^/}}} < \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

Someone в сообщении #747017 писал(а):

У Вас же там
написаны два противоречащих друг другу неравенства. Как быть с этим?

Вы наверно просто недосмотрели в первом неравенстве в правой части в формуле алгоритма номер простого (n) во втором (n+1) и я знаки неравенства неправильно поставил, числовое значение в формуле алгоритма при (n) больше чем при (n+1) тогда правильно будет так $\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} > \prod\limits_{i = 1}^{n'} {\frac{{2n' - 1}}{{2n'}}} > \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $
Извините поспешность в изложении

[Апис]

Апис в сообщении #747018 писал(а):

$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} > \prod\limits_{i = 1}^{n'} {\frac{{2n' - 1}}{{2n'}}} > \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $

И тут $\prod\limits_{i = 1}^{n'} {\frac{{2n' - 1}}{{2n'}}} $ неточность в обозначениях, даже не знаю как исправить ${{{\left( {2n'} \right)}_i}}$ может оставить на потом. Сбой в рассуждениях поискать, а то так случится и не понадобиться ничего править в формулах, незачем будет. Беда с обозначениями новых определений, ничего не получается

[Someone]

Апис в сообщении #747018 писал(а):

я знаки неравенства неправильно поставил

Я о том и говорю.
А объяснение смысла левой части остаётся за Вами. Выражение $\prod\limits_{i = 1}^{n'} {\frac{{2n'_i - 1}}{{2n'_i}}} $ выглядит весьма странно.

[Апис]

Someone в сообщении #747070 писал(а):

А объяснение смысла левой части остаётся за Вами

Всё, как мог, объяснил.

Апис в сообщении #746715 писал(а):

Если есть в рассуждениях сбой. Мне его не найти, нужен взгляд со стороны

[Someone]

Апис в сообщении #747073 писал(а):

Всё, как мог, объяснил.

Ну что же с Вами делать, если Вы не можете внятно объяснить собственные обозначения — настолько чудные, что математики такими не пользуются.

[Апис]

Забудьте.

[Апис]

Два ряда.
Первый ряд, $\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} $ Каждая n-ая частичная сумма ряда численно равна количеству простых чисел на интервале (0,m). Значение (m) определяется по второму ряду.
Второй ряд, $\sum\limits_{i = 1}^n {{p_n}} \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $
Каждая n-ая частичная сумма ряда численно равна значению (m).
Если проблема погрешности вычисления (количества простых чисел на интервалах) в лоб не решается. Метод в два ряда позволяет иначе вычислять количество простых чисел на интервалах. А именно для количества простых чисел из первого ряда, определяем значение (m), конечное значение интервала (0,m). На интервале (0,m), данное количество простых чисел из первого ряда и находится. В чём новизна метода в два ряда? На первый взгляд, та же погрешность вычисления, только не по количеству простых чисел, а по значению (m). Но погрешность, от погрешности отличается вот чем. В основной формуле, например: $\left( {p_{n + 1}^2 - p_n^2} \right)\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ погрешность вычисления получается из остатков при делении,

$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{30}} \ldots ..$$

где вместо единицы значение (m). В методе в два ряда, методическая погрешность, обусловленная несовершенством метода. Если в первом случае ничего не получается, множество подходов попробовал, то во втором случае, метод двух рядов, есть надежда при отшлифовке метода получить приемлемый результат.
Хочу заметить сообщение больше направлено для развлечения в дождливую осень, чем повод для обсуждения, так как, метод двух рядов, требует шлифовки и шлифовки.

[Апис]

Значение $p_n$ можно заменить на другое число и метод будет работать. Например: Заменим $p_n$ на (n) то есть простое число с номером (n) заменим на (n) на номер простого числа $$ Отсюда следует, на интервале $\left( {\sum\limits_{i = 1}^n n \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} ,\sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {\left( {n + 1} \right)} \prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } \right)$ количество простых чисел должно быть равно значению (n). Конечно, идеального сопадения значений нет, но отклонения от искомого значения получаются как с положительным знаком, так и с отрицательным. И суть метода во взаимном погашении погрешностей вычисления, при вычислении количества простых чисел на интервале (0,m). Но пока надо определить, как меняются знаки.
Но если метод работает при подстановке любого числа в формулу, это уже само по себе интересно.

[Апис]

Обратная формула, с корректирующим коэффициентом (k).
Обратная формула, когда по заданному количеству простых чисел находим значение (m). И тогда на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$ находится заданное количество простых чисел.
Корректирующий коэффициент (k). При изменении коэффициента изменяется величина погрешности вычисления, в процессе вычисления.
(k) корректирующий коэффициент
${p_n}$ простое число
(n) номер простого числа

$\frac{{{p_n}}}{{\frac{{{p_n} - kn}}{n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} = m$

$\frac{{{p_n}}}{n} - k$

$\frac{{n{p_n}}}{{\left( {{p_n} - kn} \right)}}$ - количество простых чисел на интервале $\left( {{p_n},m} \right)$

$m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - 1 = \frac{{n{p_n}}}{{\left( {{p_n} - kn} \right)}}$

Я проверил при коэффициентах 1 и 1,1 и остановился на коэффициенте 0,9, где то в этом небольшом интервале должен быть и идеальный коэффициент.

Идеальный коэффициент, это когда при вычислении на интервалах $\left( {{p_n},m} \right)$ количества простых чисел. По формуле $m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - 1$ Погрешность вычисления не превосходит некоторую величину $\left| E \right|$

Чем меньше эта величина, тем точнее коэффициент. Например, при коэффициенте k=0,9 $\left| E \right| < 4$ Но, должен признать, это пока только предположение.
Поиск идеального коэффициента, неплохое занятие для такой погоды, как сейчас.

[Апис]

Наибольшая вероятность.
В доказательстве гипотезы Лежандра, мной доказано, что на интервале, $\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)$ на любом отрезке длинной, ${p_{n + 1}}$ есть хотя бы одно простое число.
На интервале, $\left( {{p_n},\left( {{p_n} + {p_{n + 1}}} \right)} \right)$ число ${p_n} + {p_{n + 1}} - 1$ имеет самую большую вероятность быть простым числом. Докажем это
Разница между числами, от $\left( {{p_n} + 2} \right) - {p_n}$ до $\left( {{p_n} + {p_{n + 1}} - 1} \right) - {p_n}$ растёт по величине.
Простые числа с разницей равной двум, то есть простые числа, близнецы, встречаются намного реже, чем простые числа, разница между которыми больше двух. С увеличением по величине числа ${p_n}$ вероятность, что число ${p_n} + {p_{n + 1}} - 1$ будет простым, больше, чем вероятность, что число ${p_n} + 2$ будет простым и это же верно и для всех чисел, меньших ${p_n} + {p_{n + 1}} - 1$
Доказано, что: На интервале, $\left( {{p_n},\left( {{p_n} + {p_{n + 1}}} \right)} \right)$ число ${p_n} + {p_{n + 1}} - 1$ имеет самую большую вероятность быть простым числом.

[Апис]

Есть мнение, (shwedka), что работа должна вылежаться некоторое время, а потом представлять её на обозрение. Я думаю это не всегда рационально. Конечно, если есть червячок сомнения, то пауза не помешает. Но иногда что бы червячок сомнения не превратился в хождение по кругу, нужно работу представить. И не обязательно получить отклик. Уже сам факт представления помогает взглянуть на свою работу другими глазами. Да и червячок сомнения иногда такой неопределённый, что без взгляда со стороны и не осознать где он сидит.

Числа примеси – это составные нечётные числа, которые неполная формула алгоритма, принимает и учитывает в расчётах как простые числа.
Определения:

$\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Формула алгоритма решета Эратосфена.

$m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Количество простых чисел на интервале $\left( {{p_{n,}}m} \right)$ $p_n^2 \le m < p_{n + 1}^2$

$\prod\limits_{i = 1}^{n - t} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Неполная формула алгоритма.

$m\prod\limits_{i = 1}^{n - t} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Количество чисел примеси.

Основное свойство чисел примеси. Они никогда не повторяются при изменении (t) появляется не только другое количество чисел примеси. Все числа примеси разные

$m\prod\limits_{i = 1}^{n - t} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Количество смешанных чисел, то есть количество чисел простых и числа примеси.

Докажем основное свойство чисел примеси. Основное свойство чисел примеси, получается из вывода формулы алгоритма решета Эратосфена. В выводе, с каждым шагом, сначала вычитаются все числа, делящиеся на два, потом на три с удалением повторов. То есть при втором шаге вывода формулы алгоритма, вычитаются только числа делящиеся на три, но не на два и три. Из этого следует, при каждом последующем шаге вывода формулы алгоритма, вычитаются составные числа ранее не встречающиеся. Вот поэтому числа примеси, никогда не повторяются при изменении (t).
Прежде чем продолжать, нужно объяснить, что получим в результате вычитания чисел примеси. Распишем всё по шагам.
Дано, интервал . Пробелы между простыми числами, 2, 4, 6,…. и так далее.
Первый шаг. (n-t=1), $\[m\prod\limits_{i = 1}^{n - t} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} \]$ Вычитаем только смешанные числа,

$m - m\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} = \frac{m}{2}$ Возьмём за основу полученное число $\frac{m}{2}$ это все нечётные составные числа, плюс простые числа на интервале $\left( {0,m} \right)$

Второй шаг. $\frac{m}{2} - m\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - m\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ Вычитаем числа примеси, из числа $\frac{m}{2}$

В результате вычитания, некоторые пробелы между простыми числами уменьшились на два. И так с каждым шагом. Но каждый раз мы знаем количество пробелов, которые уменьшились. Это количество чисел примеси. Но между простыми числами близнецами нет пробелов, а значит, посчитав все пробелы которые уменьшились, то есть, посчитав все числа примеси и отнять их от, $\frac{m}{2}$ Получим количество, простых чисел, между которыми не было пробелов, это простые числа близнецы.

$m = p_n^2$

$\frac{{p_n^2}}{2} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) - ... - \left( {p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$

Нам останется доказать, что конечный результат будет от интервала к интервалу расти по величине. Необходимость и достаточность роста величины конечного результата, избавляет нас от необходимости учитывать погрешности вычисления. Которые неизбежны при использовании формулы алгоритма и сравнивания числа примеси с пробелом. И нет нужды брать интервалы, один за другим. Можно взять произвольный интервал, и следующий с большим разрывом который покроет все издержки погрешности вычисления. При желании можно всё учитывать, но для доказательства в этом нет необходимости. Так что докажем:

$\frac{{p_n^2}}{2} - p_n^2\prod\limits_{i = 1}^1 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - \left( {p_n^2\prod\limits_{i = 1}^2 {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right) - ... - \left( {p_n^2\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} + p_n^2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)$

результат при вычислении по данной формуле растёт по величине до бесконечности. И гипотеза о бесконечности простых чисел близнецов – доказана.

[Апис]

$p_n^2 \le x < p_{n + 1}^2$

$x\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^2}} \right] + n < \pi (x) < x\left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} - {{\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} } \right)}^3}} \right] + n$

Ребята можно ли с лёту, на раз опровергнуть это неравенство?