Неравенство

[Twidobik]

Надо доказать, что для любых $x,y,z$ выполняется неравенство
$\sqrt {{x^2} + xy + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \geqslant \sqrt {{y^2} + yz + {z^2}}$
Как подступиться? Можно тупо раскрывать корни путем возведения в квадрат и вроди где-то там, на горизонте, виднеется фраза "неравенство доказано", но пол дня тратить жалко. Тут какая-то хитрость, но какая, понять не могу. Дайте пожалуйста ключик к этой задаче, а замок я уж сам открою :)

[Sonic86]

Можно попытаться свести неравенство к неравенству треугольника в $\mathbb{C}$ с базисом $1,\omega=\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right)$ с нормой $N(a+b\omega)=\sqrt{a^2+ab+b^2}$.
Надо подумать

upd: только тогда норма $|\alpha|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ в базисе $1,i$ совпадает с нормой $N(\alpha)=N(x+y\omega)=\sqrt{x^2-xy+y^2}$ в базисе $1,\omega$

[mihailm]

геометрия - три отрезка из одной точки с углами 120 градусов

[saygogoplz]

выделите квадраты по типу $\sqrt{(x-y)^2+3xy}\geq|x-y|$ и так с каждым корнем
и дальше $|a+b|\leq|a|+|b|$ поможет...

[sergei1961]

Неравенство с модулем не всегда верно, скажем неверно для отрицательного произведения $xy$.

Мне кажется, что исходное неравенство для любых чисел, а не обязательно неотрицательных, также неверно: $x=1, y=-2, z=-3$.

[Twidobik]

О геометрии я думал. И применить неравенство треугольника в принципе можно. Но это ведь все касается положительных чисел. А что с отрицательными? Sonic86 предложил использовать комплексную плоскость, но...это всего лишь задание со вступительных экзаменов, неужели действительно решается так сложно?

[mihailm]

с отрицательными те же соображения, направляем в другую сторону отрезки

-- Вс июл 14, 2013 20:53:54 --

Twidobik в сообщении #745944 писал(а):

...неужели действительно решается так сложно?

Ну если неравенство треугольника и теорема косинусов это сложно, то исходное неравенство, ясен перец, под силу только гению

[Twidobik]

Фраза "направляем в другую сторону отрезки" была последним недостающим куском мозаики) Я все понял. Спасибо всем за помощь!

[sergei1961]

Исходное неравенство неверно. Указан контрпример. Или как?

[Twidobik]

Так ведь Ваш пример дает верное неравенство

[saygogoplz]

mihailm в сообщении #745950 писал(а):

с отрицательными те же соображения, направляем в другую сторону отрезки

-- Вс июл 14, 2013 20:53:54 --

Twidobik в сообщении #745944 писал(а):

...неужели действительно решается так сложно?

Ну если неравенство треугольника и теорема косинусов это сложно, то исходное неравенство, ясен перец, под силу только гению

Я что-то вот не пойму, что значит направить отрезки в другую сторону?? Если вы приведете два рисунка для двух случаев, когда все положительно, и когда все отрицательно, я буду вам благодарен. Ибо я ума не приложу, как мы можем направить отрезок и его длина отрицательная.

[mihailm]

sergei1961 в сообщении #745967 писал(а):

Исходное неравенство неверно. Указан контрпример. Или как?

А у нас доказательство))

[sergei1961]

Пусть $x=1, y=-2, z=-3$. Это верно, что

$\sqrt{3}+\sqrt{7}\ge \sqrt{19}$?

[EtCetera]

Как ни странно, верно.

[sergei1961]

Приношу извинения, обсчитался, был неправ.