Равномерное прямолинейное движение

[Munin]

Да, верно. Для многих функций предел в точке равен значению функции в этой точке.
Только пишется это иначе. Значок $\lim$ нельзя писать поодиночке. Надо указать в нём, от чего предел, и при каком условии предел. В вашем случае:
$\lim\limits_{x\to 10}f(x)=100$

Проверка понимания: чему равны
$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x>0}}\dfrac{|x|}{x}=?$

$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x<0}}\dfrac{|x|}{x}=?$

[Pineapple]

$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x>0}}\dfrac{|x|}{x}=1$

$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x<0}}\dfrac{|x|}{x}=-1$

[Munin]

Правильно.

Найдём производную функции $f(x)=x^2.$
По определению,
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}.$
Введём обозначения: в нашей точке аргумент принимает значение $x,$ а в какой-то другой - значение $x_1.$ Тогда $\Delta x=x_1-x.$
Предел при $\Delta x\to 0$ - это то же самое, что предел при $x_1-x\to 0.$ Пусть точка $x$ фиксирована в каком-то положении, а $x_1$ может "бегать". Тогда этот предел означает, что $x_1\to x.$
Теперь разберёмся с числителем. $\Delta f(x)=f(x_1)-f(x).$
Подставляем известную нам функцию: $\Delta f(x)=x_1^2-x^2.$
Запишем всё вместе:
$f'(x)=\lim\limits_{x_1\to x}\dfrac{x_1^2-x^2}{x_1-x}.$
Сможете посчитать?

[Pineapple]

$f'(x)=\lim\limits_{x_1\to x}\dfrac{x_1^2-x^2}{x_1-x}=\lim\limits_{x_1\to x}\dfrac{(x_1-x)(x_1+x)}{x_1-x}=\lim\limits_{x_1\to x}x_1+x=\lim\limits_{x_1\to x}=2x$

[Munin]

Отлично, это она и есть! Поздравляю!

Теперь нарисуйте параболу и к ней касательную, и посмотрите на тангенс угла наклона касательной.

[Pineapple]

Munin в сообщении #741137 писал(а):

Отлично, это она и есть! Поздравляю!

Теперь нарисуйте параболу и к ней касательную, и посмотрите на тангенс угла наклона касательной.

Ну это я и так знаю - это тоже производная

[Munin]

Отлично! Теперь вы знаете, в каком смысле в Яворском-Детлафе употреблён символ $\lim.$

[Pineapple]

Munin в сообщении #741160 писал(а):

Отлично! Теперь вы знаете, в каком смысле в Яворском-Детлафе употреблён символ $\lim.$

Я знал, что это предел. С математикой проблем почему-то не возникает, а вот с физикой начинаются. Насчет мгновенной скорости так и не понял, но это наверное из-за отсутствия конкретных примеров.

[Munin]

Рассмотрите равноускоренное движение по прямой, и равномерное движение по окружности. Хорошие простые примеры.

[rustot]

Pineapple в сообщении #741163 писал(а):

Я знал, что это предел. С математикой проблем почему-то не возникает, а вот с физикой начинаются. Насчет мгновенной скорости так и не понял, но это наверное из-за отсутствия конкретных примеров.

ну вот посмотрите на график зависимости пройденного пути от времени. если движение с переменной скоростью то это не прямая. а вы хотите узнать угол наклона этого графика в какой-то момент времени - скорость. но вы не можете найти угол для _точки_, у точки есть только координаты и никаких углов (по мгновенному снимку нельзя определить скорость). поэтому берете соседние точки, _участок_ этой кривой возле искомой точки и смотрите на сколько он прирастает по вертикали за фиксированный прирост по горизонтали. но при этом вы узнали среднюю скорость на этом участке, а не в искомой точке. если сократить длину рассматриваемого участка то эта средняя скорость (угол наклона) станет ближе к искомой для одной точке, но по прежнему не равной ей, если еще сократить участок - еще ближе. таким образом вы ищете для участка то, чего не существует у отдельно взятой точки (момента времени), но участок стремитесь сделать малым чтобы получить более точное значение, бесконечно малым для полностью точного

допустим путь от времени задан соотношением $s = t^2$. нужно посчитать скорость в момент $t_0$. берем 2 соседних точки $t_0$ и $t_0+dt$, находим прирост пути за промежуток времени $dt$: $s_2-s_1 = (t_0+dt)^2-t_0^2 = 2 t_0 dt + dt^2$, делим на промежуток времени чтобы найти _среднюю_ скорость за этот промежуток времени $v = 2 t_0 + dt$. и невооруженным глазом видно что чем меньше промежуток тем ближе скорость к величине $2 t_0$, значит в _пределе_ $\lim\limits_{dt \to 0}$ мгновенная (бесконечномалопромежуточносредняя) скорость и равна (а не примерно равна) $2 t_0$

[Pineapple]

Может быть есть задачи на мгновенную скорость? Или сборники в которых есть задачи?

[Батороев]

Pineapple в сообщении #741313 писал(а):

Может быть есть задачи на мгновенную скорость? Или сборники в которых есть задачи?

Задача: найти скорость камня при падении с высоты H. Решая данную задачу, Вы сначала находите время падения камня t, а затем определяете скорость, соответствующую этом моменту времени. Таким образом, Вы находите "мгновенную скорость для момента времени t". Если бы высота была другой то и время падения было бы другим, соответственно, другой и скорость в момент приземления (мгновенная скорость).

Другими словами, почти все задачи так или иначе рассчитаны на определение мгновенной скорости, если даже термин "мгновенная" упущен (при равномерном прямолинейном движении мгновенная скорость "растянута во времени").

-- 29 июн 2013 13:00 --

rustot в сообщении #741279 писал(а):

ну вот посмотрите на график зависимости пройденного пути от времени. если движение с переменной скоростью то это не прямая. а вы хотите узнать угол наклона этого графика в какой-то момент времени - скорость.

Небольшая поправка к описке: не угол, а тангенс угла наклона графика - скорость.

[Munin]

Я уже задал две задачи:

Munin в сообщении #741169 писал(а):

Рассмотрите равноускоренное движение по прямой, и равномерное движение по окружности.

Их решить, во-первых, необходимо, а во-вторых, будет достаточно практически на всю школьную программу (пожалуй, стоит ещё гармонические колебания добавить, но сначала эти две).

[Pineapple]

Что означает когда говорят производная ПО ВРЕМЕНИ?
И что такое первая производная, вторая и т.д.
При равномерном движении мгновенная скорость, скорость пути и скорость перемещения равны?

[arseniiv]

По времени — это $\frac d{dt}$ — могут быть и по другим величинам. По координате, например.

Первая производная — это обычная производная. Вторая — это производная производной. Дальше можно определить третью и всякие остальные, и даже нулевую — когда функцию не дифференцируют, а оставляют в целости как была. $n$-я производная — как $n$-я степень числа, только это степень оператора взятия производной: первая — берём один раз, вторая — два раза и т. д..