найти предел

[zaman]

Пусть функция $f(x)\geqslant0$ и непрерывна на отрезке $[a;b]$. Найти

$$\lim\left(\int_{a}^{b} f^n(x) dx\right)^{1/n} n\to\infty$$

Пытался подставить степенную функцию $x^n$, там выходит что-то вроде $b-a$, связи при подстановке других функций не нашел.

[ewert]

$n\to\infty\ \Rightarrow\ \|f\|_{L_n}\to\|f\|_{L_{\infty}}$

[zaman]

ewert в сообщении #735787 писал(а):

$n\to\infty\ \Rightarrow\ \|f\|_{L_n}\to\|f\|_{L_{\infty}}$

не совсем понял

[ewert]

Ладно, конкретнее. Для начала грубо оцените тот интеграл сверху и прикиньте, чего уж совершенно точно не может превосходить тот предел (в предположении, конечно, что он вообще существует).

[zaman]

ewert в сообщении #735906 писал(а):

Ладно, конкретнее. Для начала грубо оцените тот интеграл сверху и прикиньте, чего уж совершенно точно не может превосходить тот предел (в предположении, конечно, что он вообще существует).

не больше $k(b-a)$, где $k$-максимум функции $f^n(x)$

[ewert]

zaman в сообщении #735908 писал(а):

не больше $k(b-a)$, где $k$-максимум функции $f^n(x)$

Ну и сам предел, соответственно, чем оценивается сверху?

[zaman]

ewert в сообщении #735921 писал(а):

zaman в сообщении #735908 писал(а):

не больше $k(b-a)$, где $k$-максимум функции $f^n(x)$

Ну и сам предел, соответственно, чем оценивается сверху?

$b-a$

[ewert]

zaman в сообщении #735932 писал(а):

$b-a$

Нет.

[zaman]

ewert в сообщении #735934 писал(а):

zaman в сообщении #735932 писал(а):

$b-a$

Нет.

ой, единицей

[ewert]

zaman в сообщении #735939 писал(а):

ой, единицей

Ой, тоже нет. Как получали-то?

[mihailm]

zaman в сообщении #735908 писал(а):

...
не больше $k(b-a)$, где $k$-максимум функции $f^n(x)$

выразите через максимум $f(x)$, а не максимум $f^n(x)$

[zaman]

ewert в сообщении #735941 писал(а):

zaman в сообщении #735939 писал(а):

ой, единицей

Ой, тоже нет. Как получали-то?

степень $1/n \to 0$ при $n\to\infty $

[ewert]

zaman в сообщении #735944 писал(а):

степень $1/n \to 0$ при $n\to\infty $

Что степень? Степень чего?

[zaman]

ewert в сообщении #735946 писал(а):

zaman в сообщении #735944 писал(а):

степень $1/n \to 0$ при $n\to\infty $

Что степень? Степень чего?

степень выражения $(\int_{a}^{b} f^n(x) dx)^{1/n}$

[ewert]

zaman в сообщении #735947 писал(а):

степень выражения $(\int_{a}^{b} f^n(x) dx)^{1/n}$

Так вот и выпишите аккуратно, чего именно это не превосходит и к чему эта оценка стремится. Не забывая при этом, что основание степени тоже зависит от $n$.