Помогите решить задачку C6 из ЕГЭ

[Geros]

Помогите решить задачку C6 из ЕГЭ

Собственно, вот задача:

Все целые числа от 1 до 73 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а) Какие числа могут быть на последнем месте?
б) Какие числа могут быть на третьем месте?

Подскажите, пожалуйста, как решить...

[VoloCh]

73 врЯдли. Считайте пока что 73=13

[Geros]

Цитата:

73 врЯдли. Считайте пока что 73=13

Тогда это опечатка в тексте... Конечно, это не исключено.

Но всё-таки, хотелось бы попробовать рещить для данного случая с 73.

[TOTAL]

Geros в сообщении #731599 писал(а):

Но всё-таки, хотелось бы попробовать рещить для данного случая с 73.

а) Какие числа могут быть на последнем месте?
б) Какие числа могут быть на третьем месте?

Что считать решением, ответ на эти вопросы в какой форме?

[Geros]

Цитата:

Что считать решением, ответ на эти вопросы в какой форме?

Не понял вопрос?

Как обычно, решением считается ответ (конкретные числа) и доказательство его верности (того, что эти и только эти числа могут стоять на указанном в соответствующем пункте месте).

[TOTAL]

Geros в сообщении #731606 писал(а):

Не понял вопрос?

Как обычно, решением считается ответ (конкретные числа) и доказательство его верности (того, что эти и только эти числа могут стоять на указанном в соответствующем пункте месте).

Вопрос в том, требовать ли предъявить всю цепочку, заканчивающуюся названным числом.

[Geros]

Цитата:

Вопрос в том, требовать ли предъявить всю цепочку, заканчивающуюся названным числом.

Да, это было бы лучше всего.

[VoloCh]

Просто для 13 ответ такой что ЛЮБОЕ число может быть на третьем месте, но предъява длинная:
12,2,1,5,10,3,11,4,8,7,9,6,13
11,1,2,7,3,8,4,9,5,10,12,6,13
11,1,3,5,10,2,4,12,8,7,9,6,13
9,3,4,8,2,13,1,10,5,11,6,12,7
4,1,5,10,2,11,3,12,8,7,9,6,13
11,1,6,9,3,10,8,4,13,5,2,12,7
12,2,7,1,11,3,9,5,10,4,8,6,13
7,1,8,2,9,3,10,4,11,5,12,6,13
12,6,9,3,10,8,4,13,5,7,11,2,1
9,1,10,2,11,3,4,8,12,5,13,6,7
10,1,11,2,3,9,4,8,12,5,13,6,7
10,2,12,1,5,3,11,4,8,7,9,6,13
12,1,13,2,4,8,10,5,11,6,9,3,7

а для 73 чета лень...

Про последнее место очевидно может быть только 37, 73 и 1

[lim(f(x))]

VoloCh, скажите, пожалуйста, как вы подбирали последовательности? Тут вырисовываются уравнения вида $(\sum_{i=1}^{k-1}x_i )\equiv0\pmod{x_k},\ 1<k<14$ , я пока даже не пытался это решить (к моему стыду, я ещё никогда не решал системы сравнений), но у меня такое чувство, что тут может быть другой подход.
И как вы определили, что может быть на последнем месте? Я могу сказать, чего не может быть на последнем. Но даже если $(\sum_{i=1}^{k-1}x_i )\equiv0\pmod{x_k},\ k=13$ , как доказать, что в данной ситуации существуют нужные последовательности?

[Deggial]

lim(f(x)) в сообщении #733285 писал(а):

Тут вырисовываются уравнения вида $(\sum_{i=1}^{k-1}x_i )\equiv0\pmod{x_k},\ 1<k<14$ , я пока даже не пытался это решить (к моему стыду, я ещё никогда не решал системы сравнений)

Я не в теме, но, если что, системы сравнений решаются почти точно так же, как и системы обычных линейных уравнений над $\mathbb{R}$

[Shadow]

lim(f(x)) в сообщении #733285 писал(а):

И как вы определили, что может быть на последнем месте?

Определяется легко, т.к если последнее число $x$, то сумма всех предыдущих- $73\cdot 37-x$ и оно должно делится на $x$, что возможно только если $73\cdot 37$ делится на $x$. Но это еще не доказывает существование. Скорее всего на 3 месте может стоять все что угодно, но нужно найти какой-нибудь общий подход. Например хорошая последовательност $t-1,1,t,2,t+1,3,t+2,4\cdots$, короче, $a_{n+2}=a_n+1$. При $t=37$ получим одно решение.

[lim(f(x))]

Мне как раз интересно существование, как его может доказывать школьник. Спасибо за интересный вариант последовательности!

[Shadow]

Существование можно доказать на конкретном примере. Последовательность от 1 до $2k$ получается
$k+1,1,k+2,2\cdots 2k,k$ А если существует до $2k$ - существует и до $2k+1$ - добавляем в конце. Тут на последнем месте будет $73$
Последовательность $2k+1,1,2,k+2,3,k+3\cdots$ даст последовательность с последним членом 37.
Найдется и с последним членом 1. Интересное будет доказательство что на 3-ем месте может быть любое число. Подумаю...