верхняя граница определенного интеграла

[wizardofnothing]

Добрый день. Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей. Имеется некоторый определённый интеграл определения длины дуги,который равен $x$
$\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f(x)')^2}dx=x$
Как можно выразить из него верхнюю границу $b$. То есть нужно некоторое универсальное равенство, которое подойдёт для любой функции.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите формулы $\TeX$ом здесь, ссылку давать совершенно незачем - уберите её. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[cool.phenon]

Если я правильно понял, то вы имели в виду следующее:
$\int\limits_{a}^{t}{\sqrt{1+f{{'}^{2}}\left( u \right)}du=x;t=t\left( x \right)}.$
А это - натуральная параметризация кривой. То есть, вам нужна всего-то формула перехода в натуральную параметризацию.

[ИСН]

Значит, так. Берём и зачёркиваем символы: $\int,\,(,\,(,\,),\,),\,\surd,\,a,\,d,\,f,\,x,\,x,\,x,\,1,\,2,\,+,\,=\text{ и }\prime$. То, что останется - это и будет $b$.
Я выразил.

[wizardofnothing]

Cool.phenon да вы все правильно понимаете. Извиняюсь ещё раз за свою необразованность, но как можно получить эту формулу?

[cool.phenon]

Ну вот смотрите. У нас есть функция $x=x(t)$.Она монотонна строго (биективна). А нужно получить формулу $t=t(x)$. Для этого нужно сказать заклинание.

[wizardofnothing]

Да, именно это и нужно.
Но я не знаю заклинания. В том и проблема. Поэтому и прошу помощи. Пожалуйста.

[AKM]

Нехорошие, по-моему, получились обозначения.
Путаницу из первого сообщения, когда $x$ выступает и как абсцисса, аргумент функции (традиционное обозначение), и как искомая длина дуги было бы полезно устранить. Предлагаю:

$$s(x)=\int\limits_{a}^{x}\sqrt{1+{f'}^{2}(u)}du;\quad\text{искомое:}\quad x=x( s )$$

Пусть икс будет привычной абсциссой. Неназойливо, разумеется, предлагаю; не модераторским указом.

[ИСН]

Про обратные функции слышали, например?