Эх-ма! Нагородили тут огород с общими формулами для квадратов Стенли (с моей подачи)
Ну, эти формулы тоже, конечно, полезны.
Однако всё гораздо проще! Поскольку установлено (в этой ветке), что квадраты Стенли суть то же самое, что и примитивные квадраты по Россеру, то и общая формула квадратов Стенли будет очень простая; эта формула следует из определения примитивного квадрата по Россеру.
Будем обозначать квадрат Стенли порядка n как матрицу
, i,j=1,2,3,...,n.
Индекс квадрата, как всегда, обозначим
.
Тогда независимыми переменными будут:
,
то есть все элементы первой строки и первого столбца квадрата.
Всего независимых переменных
.
Все зависимые элементы квадрата вычисляются по следующей формуле:
, где i,j>1
Индекс квадрата
вычисляется, например, по такой формуле:
Очень компактная формула для квадратов Стенли любого порядка n.
Кстати, именно по этой формуле я строила минимальные квадраты Стенли порядков 6 и 7 из простых чисел.
-- Вс мар 31, 2013 08:13:16 --Andersen пишет (в головоломке 681; ссылка указана выше):
Цитата:
This is probably minimal for 11 but has not been fully proven:
(11,18191): (23,89,163,179,331,569,613,859,1153,2063,2531)
+ (0,18,48,78,270,378,1128,1140,1698,2220,2640)
А вот и сам квадрат Стенли полрядка 11 с индексом
18191:
Цитата:
Probably minimal (11,18191)
(0,18,48,78,270,378,1128,1140,1698,2220,2640)
Код:
23 41 71 101 293 401 1151 1163 1721 2243 2663
89 107 137 167 359 467 1217 1229 1787 2309 2729
163 181 211 241 433 541 1291 1303 1861 2383 2803
179 197 227 257 449 557 1307 1319 1877 2399 2819
331 349 379 409 601 709 1459 1471 2029 2551 2971
569 587 617 647 839 947 1697 1709 2267 2789 3209
613 631 661 691 883 991 1741 1753 2311 2833 3253
859 877 907 937 1129 1237 1987 1999 2557 3079 3499
1153 1171 1201 1231 1423 1531 2281 2293 2851 3373 3793
2063 2081 2111 2141 2333 2441 3191 3203 3761 4283 4703
2531 2549 2579 2609 2801 2909 3659 3671 4229 4751 5171
[Кстати, интересную схему для записи квадрата Стенли предложил Andersen.]
Замечательный результат!
Помню, с каким трудом я строила примитивный квадрат 11-го порядка из различных простых чисел. И построенный мной квадрат имеет гораздо больший индекс (это всё есть в моей статье из цикла статей "Нетрадиционные пандиагональные квадраты").
Теперь можно из этого квадрата Стенли получить пандиагональный квадрат с магической константой
18191. Класс!
И ещё не доказано, что это наименьший квадрат!
-- Вс мар 31, 2013 08:19:23 --В своей давней
статье нашла квадраты Стенли порядков 8 - 11 из простых чисел.
Код:
n=8
11 37 107 151 277 359 571 2221
41 67 137 181 307 389 601 2251
71 97 167 211 337 419 631 2281
83 109 179 223 349 431 643 2293
101 127 197 241 367 449 661 2311
131 157 227 271 397 479 691 2341
173 199 269 313 439 521 733 2383
743 769 839 883 1009 1091 1303 2953
S=5000
n=9
11 37 107 151 277 359 571 2221 3271
41 67 137 181 307 389 601 2251 3301
71 97 167 211 337 419 631 2281 3331
83 109 179 223 349 431 643 2293 3343
101 127 197 241 367 449 661 2311 3361
131 157 227 271 397 479 691 2341 3391
173 199 269 313 439 521 733 2383 3433
743 769 839 883 1009 1091 1303 2953 4003
1523 1549 1619 1663 1789 1871 2083 3733 4783
S=9783
n=10
11 23 41 53 107 353 443 1427 1973 24077
17 29 47 59 113 359 449 1433 1979 24083
31 43 61 73 127 373 463 1447 1993 24097
67 79 97 109 163 409 499 1483 2029 24133
137 149 167 179 233 479 569 1553 2099 24203
181 193 211 223 277 523 613 1597 2143 24247
251 263 281 293 347 593 683 1667 2213 24317
4241 4253 4271 4283 4337 4583 4673 5657 6203 28307
5407 5419 5437 5449 5503 5749 5839 6823 7369 29473
6257 6269 6287 6299 6353 6599 6689 7673 8219 30323
S=44998
n=11
11 23 41 53 107 353 443 1427 1973 24077 59387
17 29 47 59 113 359 449 1433 1979 24083 59393
31 43 61 73 127 373 463 1447 1993 24097 59407
67 79 97 109 163 409 499 1483 2029 24133 59443
137 149 167 179 233 479 569 1553 2099 24203 59513
181 193 211 223 277 523 613 1597 2143 24247 59557
251 263 281 293 347 593 683 1667 2213 24317 59627
4241 4253 4271 4283 4337 4583 4673 5657 6203 28307 63617
5407 5419 5437 5449 5503 5749 5839 6823 7369 29473 64783
6257 6269 6287 6299 6353 6599 6689 7673 8219 30323 65633
93967 93979 93997 94009 94063 94309 94399 95383 95929 118033 153343
S=198341
Это построенные мной квадраты Стенли из простых чисел порядков 8-11.
Andersen нашёл для порядков 8-10 квадраты Стенли с минимальными индексами.
Для порядка 11 его квадрат тоже отличный, но не доказано, что индекс этого квадрата минимальный.
-- Вс мар 31, 2013 08:36:00 --А вот квадрат Стенли 13-го порядка у Andersen имеет индекс намного больше моего:
Цитата:
Non-minimal (13,37058897)
Код:
147863 180097 467507 624313 739549 833659 1091807 1507007 1763477 2121241 4115263 4961741 10757633
177893 210127 497537 654343 769579 863689 1121837 1537037 1793507 2151271 4145293 4991771 10787663
298013 330247 617657 774463 889699 983809 1241957 1657157 1913627 2271391 4265413 5111891 10907783
328043 360277 647687 804493 919729 1013839 1271987 1687187 1943657 2301421 4295443 5141921 10937813
358073 390307 677717 834523 949759 1043869 1302017 1717217 1973687 2331451 4325473 5171951 10967843
718433 750667 1038077 1194883 1310119 1404229 1662377 2077577 2334047 2691811 4685833 5532311 11328203
748463 780697 1068107 1224913 1340149 1434259 1692407 2107607 2364077 2721841 4715863 5562341 11358233
838553 870787 1158197 1315003 1430239 1524349 1782497 2197697 2454167 2811931 4805953 5652431 11448323
868583 900817 1188227 1345033 1460269 1554379 1812527 2227727 2484197 2841961 4835983 5682461 11478353
898613 930847 1218257 1375063 1490299 1584409 1842557 2257757 2514227 2871991 4866013 5712491 11508383
1228943 1261177 1548587 1705393 1820629 1914739 2172887 2588087 2844557 3202321 5196343 6042821 11838713
1319033 1351267 1638677 1795483 1910719 2004829 2262977 2678177 2934647 3292411 5286433 6132911 11928803
1739453 1771687 2059097 2215903 2331139 2425249 2683397 3098597 3355067 3712831 5706853 6553331 12349223
Построенный мной квадрат имеет индекс
5441577. Сейчас скопирую его из своей статьи.
Квадраты Стенли порядка больше 13 из различных простых чисел мне построить не удалось.
-- Вс мар 31, 2013 08:42:10 --Вот мой квадрат Стенли 13-го порядка из простых чисел с индексом
5441577:
Код:
277 823 991 1237 1621 5101 5857 30181 116533 120097 843757 997141 1037041
563 1109 1277 1523 1907 5387 6143 30467 116819 120383 844043 997427 1037327
2657 3203 3371 3617 4001 7481 8237 32561 118913 122477 846137 999521 1039421
4457 5003 5171 5417 5801 9281 10037 34361 120713 124277 847937 1001321 1041221
5077 5623 5791 6037 6421 9901 10657 34981 121333 124897 848557 1001941 1041841
6247 6793 6961 7207 7591 11071 11827 36151 122503 126067 849727 1003111 1043011
8663 9209 9377 9623 10007 13487 14243 38567 124919 128483 852143 1005527 1045427
23173 23719 23887 24133 24517 27997 28753 53077 139429 142993 866653 1020037 1059937
25933 26479 26647 26893 27277 30757 31513 55837 142189 145753 869413 1022797 1062697
189547 190093 190261 190507 190891 194371 195127 219451 305803 309367 1033027 1186411 1226311
536443 536989 537157 537403 537787 541267 542023 566347 652699 656263 1379923 1533307 1573207
557537 558083 558251 558497 558881 562361 563117 587441 673793 677357 1401017 1554401 1594301
923947 924493 924661 924907 925291 928771 929527 953851 1040203 1043767 1767427 1920811 1960711
Скопирован из статьи:
http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr6.htm