Интеграл

[Shtorm]

randy в сообщении #704331 писал(а):

.... тоже приведет не совсем к ясным последующим действиям....

Две поговорки тут уместны: "У страха глаза велики" и "Глаза боятся, а руки делают"

$\int \frac {1+\sh^2 t}{\sh t} dt$

взяли вот эту формулу, разбили на две дроби и соответственно на два интеграла - и дальше как по маслу.

[Praded]

Shtorm в сообщении #704335 писал(а):

и дальше как по маслу

Особенно, когда второй просто табличный.

[randy]

ИСН, да, тогда приходим к промежуточному ответу $\int \ch^2t d(\ch t)=$ $\frac {\ch^3 t}{3}$. осталось это перевести в исходные переменные. известно, что $x=\sh t$. выразим из тождества $\ch^2 t-\sh^2 t=1$ => $\ch^3 t=(1+\sh^2 t)(\sqrt {1+\sh^2 t})$ получаем, что в исходной переменной наш интеграл равен $\frac {(1+x^2)(\sqrt {1+x^2})}{3}$ Верно?

[Shtorm]

randy в сообщении #704362 писал(а):

ИСН, да, тогда приходим к промежуточному ответу $\int \ch^2t d(\ch t)$

Неправильно. Откуда это?

Цитата:

$\frac {(1+x^2)(\sqrt {1+x^2})}{3}$ Верно?

Конечно нет.

[randy]

ну у нас есть $\int \frac {\ch^2 t}{\sh t} dt$ заносим под дифференциал $d(\ch t)=\sh t dt$, то есть действие $d(\ch t)$ умножает дробь на лишнюю функцию $\sh t$ значит надо и поделить на нее, чтобы оставить подынтегральное выражение в первоначальном виде. Тогда получится $\int \frac {\ch^2 t}{\sh t} d(\ch t)$ - то есть то же самое. Да, не очень вид у интеграла.
А что вы говорите, разбить на два интеграла? $\int \frac {1}{\sh t} dt+\int \sh t dt$ в первом интеграле не очень ясно что к чему приводить

[Shtorm]

randy в сообщении #704374 писал(а):

значит надо и поделить на нее, чтобы оставить подынтегральное выражение в первоначальном виде

Верно!!! Но Вы то не поделили же!!!!

-- Пн апр 01, 2013 17:05:14 --

randy в сообщении #704374 писал(а):

разбить на два интеграла?

randy в сообщении #704374 писал(а):

первом интеграле не очень ясно что к чему приводить

В первом нужно выразить гиперболический синус через экспоненты, а затем сделать замену. Отдельно решайте этот первый интеграл.

-- Пн апр 01, 2013 17:12:45 --

А вот если бы Вы там выше правильно поделили, то интеграл значительно упростился бы.

[Praded]

Shtorm в сообщении #704375 писал(а):

В первом нужно выразить гиперболический синус через экспоненты, а затем сделать замену. Отдельно решайте этот первый интеграл.

Ну, уж если стали всё делать в гиперболическом, так какой смысл переходить к экспонентам. ИМХО, стОит в гиперболическом и закончить.

[randy]

например, если перейти к экспонентам $\int \frac {1}{\sh t}=2\int \frac {1}{e^t-e^{-t}} dt=2 \int \frac {d(e^t-e^{-t}}{(e^t-e^{-t})(e^t+e^{-t})}=2\int \frac {d(e^t-e^{-t}))}{e^{2t}-e^{-2t}}$ тут тоже что-то ввести надо?

[Shtorm]

randy, Вы домножили на сопряжённое числитель и знаменатель, а я вот решал - сразу обозначил $e^t=z$ и свёл к рациональной дроби - к табличному интегралу сразу.

[ИСН]

Кроме того, что такого интеграла у нас нет - всё прекрасно.

[randy]

сделал так $\int \frac {dt}{e^t-e^{-t}}=\int \frac {e^t}{e^{2t}-1}dt$ здесь заменяем $u=e^t$
$\int \frac {du}{u^2-1}=0,5 \ln |\frac {u-1}{u+1}|=0,5 \ln |\frac {e^t-1}{e^t+1}|$ вот как бы правильно к иксу перейти?

-- 01.04.2013, 18:54 --

естественно, у нас еще $2$ множитель перед интегралом был - я его потерял

[Shtorm]

randy в сообщении #704398 писал(а):

правильно к иксу перейти?

$t=\operatorname{Arsh x}$

Обратный гиперболический синус и выразить потом его через натуральный логарифм.

[randy]

понял, спасибо

[Praded]

Видимо, проще так:

$$\int\dfrac{\ch^2 t}{\sh t}dt=\int\dfrac{(\ch^2 t-1+1)\sh t}{\sh^2 t}dt=\int\dfrac{\ch^2 t-1+1}{\ch^2 t-1}d(\ch t)=\int d(\ch t)+\int\dfrac{d(\ch t)}{\ch^2 t-1}=$$

$$=\ch t+\dfrac12\ln\left|\dfrac{\ch t-1}{\ch t+1}\right|+C$$

[Shtorm]

Опечатка.....была поправлена, поэтому своё сообщение удалил.