Интеграл

[Praded]

Поправил.

[AV_77]

Сейчас подумал, здесь можно без гиперболических функций обойтись

$$ \int \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx = \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2} d(x^2) = \ldots $$

[randy]

randy в сообщении #704398 писал(а):

сделал так $\int \frac {dt}{e^t-e^{-t}}=\int \frac {e^t}{e^{2t}-1}dt$ здесь заменяем $u=e^t$
$\int \frac {du}{u^2-1}=0,5 \ln |\frac {u-1}{u+1}|=0,5 \ln |\frac {e^t-1}{e^t+1}|$ вот как бы правильно к иксу перейти?

-- 01.04.2013, 18:54 --

естественно, у нас еще $2$ множитель перед интегралом был - я его потерял

таким образом, получилось $0,5\cdot 2 \ln |\frac {e^t-1}{e^t+1}|$
после замены $t$ на $\operatorname{arsh} x=\ln {x+\sqrt {x^2+1}}$
получаем $\ln |\frac {x+\sqrt {x^2+1}-1}{x+\sqrt {x^2+1}+1}$
а второй интеграл из разбиения $\int \frac {1+\sh^2 t}{\sh t} dt =\int \frac {1}{\sh t}dt + \int \sh t dt$
дает нам $\int \sh t dt=\ch t$ после замены на экспаненты гиперболического косинуса и подстановки $t=\operatorname{arsh} x$ получаем $\frac {0}{2}=0$
таким образом, итоговый ответ $\ln \left|\frac {x+\sqrt {x^2+1}-1}{x+\sqrt {x^2+1}+1}\color{red}\right|$ ...(Добавил палочку справа. //AKM)
но вольфрам имеет несколько другое мнение на этот счет. кто прав?

[Shtorm]

Возьмите производную от своего ответа и возьмите производную от ответа альфы - и сравните.

[randy]

хм. ясное дело, что вольфрам от своего варианта выдаст ту же производную, от которой я брал интеграл.

[Shtorm]

randy в сообщении #706359 писал(а):

дает нам $\int \sh t dt=\ch t$ после замены на экспаненты гиперболического косинуса и подстановки $t=\operatorname{arsh} x$ получаем $\frac {0}{2}=0$

А вот тут Вы ошиблись с нулём. Там вовсе не нуль будет. Разве знак минус в показателе экспоненты будет означать, что этот минус появляется перед выражением?

[TelmanStud]

Можно чуть проще
$\int \sqrt{1+\frac{1}{^{x^2}}} \, dx=$
Замена
$x=e^z $ получим $\int \sqrt{1+e^{-2 z}} \, de^z$
интегрирование по частям
$\int \sqrt{1+e^{-2 z}} \, de^z=e^z\sqrt{1+e^{-2 z}}-\int e^z \, d\sqrt{1+e^{-2 z}}=e^z\sqrt{1+e^{-2 z}}-\int \frac{1}{\sqrt{1+\left(e^{- z}\right)^2}} \, de^{- z}$
учитывая
$\int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \, dt=\text{ArcSinh}[t]$
получим окончательно
$e^z\sqrt{1+e^{-2z}}-\text{ArcSinh}\left[e^{-z}\right]$
и
$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} x-\text{ArcSinh}[1/x]$
или же
$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} x-\text{ArcCsch}[x]$

[randy]

Shtorm в сообщении #706405 писал(а):

randy в сообщении #706359 писал(а):

дает нам $\int \sh t dt=\ch t$ после замены на экспаненты гиперболического косинуса и подстановки $t=\operatorname{arsh} x$ получаем $\frac {0}{2}=0$

А вот тут Вы ошиблись с нулём. Там вовсе не нуль будет. Разве знак минус в показателе экспоненты будет означать, что этот минус появляется перед выражением?

поправил $\frac {(x+\sqrt {x^2+1})^2+1}{2(x+\sqrt {x^2+1})}$
все равно с ответом не сходится

[TelmanStud]

randy
А что в ответе?

[Shtorm]

randy, да.
Так альфа даёт ответ через гиперболический ареакотангенс?

Ан нет, через логарифмы. Это Maple даёт ответ через гиперболический ареакотангенс. Но все они друг через друга выражаются.

[randy]

А альфа дает вот такой длинный ответ

[Shtorm]

randy в сообщении #706418 писал(а):

все равно с ответом не сходится

Ответ можно преобразовывать по разному.

-- Пт апр 05, 2013 23:45:36 --

То есть суть в чём? В том, чтобы правильно найти интеграл или чтобы с альфой совпало?

-- Пт апр 05, 2013 23:47:23 --

А то посмотрите, Ваша любимая альфа не сократила общий множитель в числителе и знаменателе, который сразу напрашивается на сокращение.

[randy]

Кстати, вы знаете как в альфе при вычислении интеграла заменить дифференциал? например $dx$ поменять на хотя бы $d(x+1)$

[Shtorm]

Я сказал общий множитель не сократила? Так на самом деле целых два общих множителя не сократила. То же самое сделал и Maple.

-- Сб апр 06, 2013 00:23:47 --

В общем вот, что я скажу. Самый эффективный способ решения предложил AV_77. И не важно, что решая этим эффективным способом ответ опять не совпадёт с альфой. Самое главное, что можно быстро взять производную и убедиться, что она равна подынтегральной функции.

-- Сб апр 06, 2013 00:46:30 --

Да, и вот сейчас прикинул: Получаем ответ по способу AV_77 и ответ легко приводится к ответу, выдаваемому альфой.

[Shtorm]

randy в сообщении #706429 писал(а):

Кстати, вы знаете как в альфе при вычислении интеграла заменить дифференциал? например $dx$ поменять на хотя бы $d(x+1)$

Так а Вы замените $x+1$ на $x$ во всём подынтегральном выражении и напишите в альфу.