Интеграл

[Shtorm]

randy, сдаётся мне, что у Вас проблема при нахождении дифференциала $dx$, выраженного через $dt$. Вот чему по-Вашему равен $dx$, выраженный через $t$?

[ИСН]

Да нет у него никаких проблем.

[randy]

Вы настаиваете, чтобы я $dx$ преобразовал к виду $dt$. Но это я и делаю, когда заношу под знак дифференциала $d(\sh t)$.

[ИСН]

А как у Вас к этому моменту всё остальное сократилось в одинокий sh в знаменателе?

[randy]

в моем представлении операция замены $x=...$ и подведения под знак дифференциала - это одно действие, поэтому вопрос "как к этому моменту" мне не понятен. я заменил $\cth t$ на соответствующую дробь и вместе с тем нашел $d(\sh t)$. Поэтому, я ничего и не сокращал.

[Shtorm]

randy, а что получается у Вас под корнем в числителе? Там у Вас ошибка.

[randy]

Под корнем? $\int {\frac {\sqrt {\ch t}}{\sh^2 t}} d(\sh t)$

[Shtorm]

randy, отлично! А теперь, не меняя выражение с корнем, заменяйте dx через t.

[randy]

Shtorm в сообщении #704143 писал(а):

randy, отлично! А теперь, не меняя выражение с корнем, заменяйте dx через t.

да, другое выходит. подредактировал пост выше

[Shtorm]

А смотрю, Вы редактируете своё предыдущее сообщение, пока вижу ошибки.

-- Пн апр 01, 2013 00:38:12 --

randy в сообщении #704140 писал(а):

$\int {\frac {\sqrt {\ch t}}{\sh^2 t}} d(\sh t)$

Тут ошибка.

[randy]

Shtorm в сообщении #704146 писал(а):

А смотрю, Вы редактируете своё предыдущее сообщение, пока вижу ошибки.

-- Пн апр 01, 2013 00:38:12 --

randy в сообщении #704140 писал(а):

$\int \sqrt {{\frac {\ch t}}{\sh^2 t}}} d(\sh t)$

Тут ошибка.

и опять же я пришел к тому, что было вначале. так я рассуждал:
у нас есть $\int \sqrt {\frac {\ch^2 t}{\sh^2 t}}dx$ $dx$ надо заменить на $d(\sh t)$. но $d(\sh t)=\ch t$. то есть мы дополнительно домножаем корень на $\ch t$, значит надо и поделить на это. $\sqrt {\frac {\ch^2 t}{\sh^2 t}}=\frac {\ch t}{\sh t}$, тогда наш интеграл запишется в виде $\int {\frac {\ch t}{\sh t}}d(...)$ тут надо заменить дифференциал. $\int {\frac {\ch t}{\sh t}}\cdot \frac {1}{\ch t} d(\sh t)$ Что равно $\int \frac {d(\sh t)}{\sh t}$

[Shtorm]

randy в сообщении #704152 писал(а):

у нас есть $\int \sqrt {\frac {\ch^2 t}{\sh^2 t}}dx$

Короче, правильно должно быть

$$\int \sqrt {\frac {\ch^2 t}{\sh^2 t}}d(\sh t)$$

Вот от этого дальше и отталкивайтесь.

[Praded]

Предлагаю вернуться к нашим, как говорится, баранам, и сделать всё методически правильно. У ТС задание состоит в нахождении интеграла

$$\int \sqrt {1+\dfrac {1}{x^2}}dx$$

Была предложена замена $x=\sh t$. Тогда $dx=\ch tdt$ и интеграл превращается в

$$\int \sqrt {1+\dfrac {1}{\sh^2 t}}\ch tdt$$

Почему не оставляем сразу $d(\sh t)$? Так не знаем мы, что нас ждёт впереди... А теперь уже можно работать с полученным выражением. Я так думаю... И не забываем о наличии постоянной $C$ в ответе.

[randy]

А это, в свою очередь, равно $\int \sqrt {1+\dfrac {1}{\sh^2 t}}\ch tdt=\int \sqrt{\frac {\ch^2 t}{\sh^2 t}}\ch t dt=\int \frac {\ch^2 t}{\sh t} dt$
а тут уже не ясно, что дальше делать. можно подвести дифференциал под $\sh t$, тогда получится $\int \frac {\ch t}{\sh t} d(\sh t)$
а можно по тождеству преобразовать гиперболический косинус, не меняя дифференциала, что тоже приведет не совсем к ясным последующим действиям. $\int \frac {1+\sh^2 t}{\sh t} dt$

[ИСН]

У Вас $\sh t$ - это x. Вы первоначальной заменой от него ушли. Так зачем же, зачем Вы снова и снова пытаетесь к нему вернуться? Это будет тот интеграл, с которого мы начали. "И вышел-таки опять на Дерибасовскую."
А вот если узреть тут $d(\ch t)$...