Интеграл

[randy]

Помогите взять интеграл $\int (\sqrt {1+\frac {1}{x^2}})$
вот мое решение, заменил $\sqrt {1+\frac {1}{x^2}}=\frac {1}{x}+t$
отсюда $1+\frac {1}{x^2}=\frac {1}{x^2}+t^2+\frac {2t}{x}$
значит $x=\frac {2t}{1-t^2}=-\frac {2t}{t^2-1}$
$dx=\frac {2(t^2+1)}{(t^2-1)^2}$
подставляем в интеграл $\int (\sqrt {1+\frac {1}{x^2}})=\int( (\frac {2t}{t^2-1}+t)(\frac {2(t^2+1)}{(t^2-1)^2}dt))=\int (\frac {4t(t^2+1)}{(t^2-1)^3}+\frac {2t(t^2+1)}{(t^2-1)^2}dt)$
думаю, может две дроби надо дальше как-то разложить на более простые?

[AV_77]

randy в сообщении #703907 писал(а):

думаю, может две дроби надо дальше как-то разложить на более простые?

Если таким путем решать, то надо раскладывать. А можно сделать замену $x = \operatorname{sh} t$. Там выражения проще будут.

[randy]

А что такое $\sh t$?

[Praded]

А это не синус гиперболический?

[arseniiv]

Он-он.

[Praded]

Так это понятно было. Вопрос-то к ТС.

[randy]

то есть $x$ заменять на $\frac {e^x-e^{-x}}{2}$? всмысле самым первым действием эту замену вводить?

[Praded]

Вводить ту замену, которую вам прямо указали.

[randy]

Praded в сообщении #703940 писал(а):

Вводить ту замену, которую вам прямо указали.

и что тогда будет? $\int \sqrt {1+ \frac {1}{\sh ^2 x}}dx$
под дифференциал не взять $\sh x$
$d(\sh x)=\cosh x dx$

[Praded]

Из-под корня кто извлекать будет? И там уже не $x$, а $t$.

[Limit79]

$1+\frac{1}{\sh^2(x)} = ... = \cth^2(x)$

[randy]

а как извлекать из под корня?

[Limit79]

Попробуйте привести подкоренное выражение к какому-нибудь квадрату...

[randy]

Limit79 в сообщении #703952 писал(а):

Попробуйте привести подкоренное выражение к какому-нибудь квадрату...

ну вы показали, что его можно привести к гиперболическому котангенсу.
только, по-моему, вы ошиблись. $\ch^2 x+\sh^2 x=1$? значит со знаками не тот случай. должно быть $\frac {\sh^2 x-1}{\sh^2 x}$

[Praded]

Откуда вы взяли последнюю формулу? Там $\ch^2t-\sh^2t=1$.