Градиент

[inginegr]

Помогите пожалуйста разобраться в физическом смысле градиента. В википедии написано, что он указывает на направление наибольшего возрастания функции, а его модуль характеризует величину этого возрастания. Допустим задана функция $y=x^2$ ; тогда $grad(y)=(2x)i$. Пусть я хочу найти направление градиента в точке $M(1,1)$. Верно ли что градиентом будет являться вектор исходящий из точки $(0,1)$ и заканчивающийся в точке $(0,2)$?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

вернул. Термы оформил ТеХом. Термы тоже надо оформлять ТеХом - оформляйте в следующий раз.

inginegr в сообщении #693756 писал(а):

Верно ли что градиентом будет являться вектор исходящий из точки $(0,1)$ и заканчивающийся в точке $(0,2)$?

Нет.
Во-первых, вектор задается парой чисел, а не парой точек.
Во-вторых, Вы считаете некорректно: у Вас разная размерность. Если функция $F=F(x_1,...,x_n)$ - функция от $n$ переменных, то $\operatorname{grad}F=\left(\frac{\partial F}{\partial x_1},...,\frac{\partial F}{\partial x_n}\right)$ - вектор из $n$ производных. А значение его в точке - это тоже $n$-мерный вектор. У Вас функция $y=y(x)=x^2$ - это функция одного аргумента. Значит её градиент - это одномерный вектор, т.е. просто число. А у Вас почему-то получается 2-мерный вектор.
Пересчитайте просто в лоб. Вы выражение для градиента получили верное - просто подставьте в него данную абсциссу.

[Joker_vD]

Если у вас есть вещественная функция одной переменной $f=f(x)$, то ее градиент — это просто ее производная $f'(x)$. Если эта производная положительна, то функция будет возрастать при увеличении $x$, если же отрицательна — функция будет возрастать при уменьшении $x$ (при увеличении $x$ она соответственно будет убывать).

[inginegr]

Deggial в сообщении #693757 писал(а):

просто подставьте в него данную абсциссу.

После подставления значения $x=1$ получается что $grad(y)=2i$. Тогда выходит, вектор будет с координатами $(1,2)$?

[Deggial]

inginegr в сообщении #693974 писал(а):

После подставления значения $x=1$ получается что $grad(y)=2i$. Тогда выходит, вектор будет с координатами $(1,2)$?

Deggial в сообщении #693757 писал(а):

У Вас функция $y=y(x)=x^2$ - это функция одного аргумента. Значит её градиент - это одномерный вектор, т.е. просто число. А у Вас почему-то получается 2-мерный вектор.

[inginegr]

Deggial
По русски говоря это будет вектор исходящий из начала координат, направленный вдоль оси $x$ и его длина равна 2?

[iifat]

И ещё раз: функция одного аргумента! Каких таких "координат", когда их одна? Какой такой оси x, когда ось -- одна?

[inginegr]

Товарищи, я может не корректно сформулировал свой вопрос, но меня интересует не колличество осей и колличество координат, а то как располагается вектор градиента в данной системе координат. Иными словами мне хотелось бы разобраться во фразе

Цитата:

указывает на направление наибольшего возрастания функции

, написанной в википедии.

[gris]

На картинке нарисован график функции в системе координат (переменная, функция). Градиент в этой системе не рисуют. Его рисуют в системе координат, связанной только с переменной. В нашем случае это прямая. Смысл рисования градиентов в том, что не нужно рисовать график, чтобы пояснить характер изменения функции. Вообще, градиент это свободный вектор, но при рисовании мы его привязываем к точке, в которой он вычисляется. В случае с функцией $x^2$ изображение градиента будет выглядеть, как на Вашем рисунке, но без графика функции и вообще без оси ординат. Привязанный вектор градиента торчит вправо из точки $(1)$ и имеет длину $2$. То есть заканчивается он в точке $(3)$. Смысл рисунка в том, что направление наибольшего возрастания функции в точке (1) это "вправо".

[inginegr]

gris
Спасибо что поняли меня и ответили. Вопрос исчерпан.