Теорема Вейерштрасса

[Ward]

SpBTimes
Ну например дзета-функция равномерно сходится в области $D=\{\operatorname{Re}s>1\}$. Значит, она равномерно сходится в множествах вида $\{|z|<R\}, R<\infty$.
Хотя смотрите как дзета-функция может сходится равномерно на замкнутом круге $|z-1|\leqslant 1$? Ведь в самой крайней левой точке круга, а именно в $s=1$ дзета-функция вообще расходится.

-- 04.03.2013, 00:17 --

Уважаемый Someone
да это все. Вроде больше ничего не написано там

[SpBTimes]

Ward
Ну не будет сходиться. Вы скажите, что сомнения-то вызывает?

[Ward]

Сомнений нет.
Получается, что для дзета-функции нужно рассматривать равномерную сходимость в открытых кругах. Так ведь?

[Someone]

Я посмотрел. Именно так у Шабата и написано. § 1, пункт 2.

Б.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. "Наука", Москва, 1976.

Ward в сообщении #690840 писал(а):

Ну например дзета-функция равномерно сходится в области $D=\{\operatorname{Re}s>1\}$. Значит, она равномерно сходится в множествах вида $\{|z|<R\}, R<\infty$.

Насчёт равномерной сходимости в области $D$ мне непонятно. В точке $s=1$ ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^s}$ расходится. Легко установить, что при действительном $s\to 1^+$ остаток ряда неограниченно возрастает. Какая уж там равномерная сходимость.
Но, если бы равномерная сходимость в $D$ действительно была, то из этого сходимость в круге $|z|<R$ никак бы не следовала вообще ни при каком $R>0$.

[Ward]

Уважаемый Someone
1) дзета функция $\zeta(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ равномерно сходится при $\operatorname{Re}s>1$. Вы согласны?

2) А как тогда доказать, что $\zeta(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ равномерно сходится в $\{|z|<R\}\subset D=\{\operatorname{Re}s>1\}$?

[Someone]

Вы повнимательнее прочтите, что я написал. Там содержатся ответы на оба вопроса.

[Ward]

Уважаемый Someone я прочитал Вашу предыдущаю запись.
1) Вы утверждаете, что $\zeta(s)$ при $s\to 1+$ ее остаток неограниченно возрастает. Какая уж может быть равномерная сходимость?
Но я читал в одной книге, что $\zeta(s)$ равномерно сходится в $\{Res>1\}$
Честно говоря, я Вашу мысль не понял. У меня одно получается, а у Вас другое.
2)

Someone в сообщении #690861 писал(а):

Но, если бы равномерная сходимость в $D$ действительно была, то из этого сходимость в круге $|z|<R$ никак бы не следовала вообще ни при каком $R>0$.

Ну что-то ответа на второй вопрос тут нет.

[Someone]

Ward в сообщении #690872 писал(а):

Вы утверждаете, что $\zeta(s)$ при $s\to 1+$ ее остаток неограниченно возрастает. Какая уж может быть равномерная сходимость?
Но я читал в одной книге, что $\zeta(s)$ равномерно сходится в $\{Res>1\}$

В какой именно книге? Точную ссылку дайте. Может быть, там какая-нибудь нестандартная "равномерная" сходимость подразумевается. Как у Шабата с компактностью.

Если мы рассмотрим $n$-ый остаток

$$r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\frac 1{k^s},$$

то с помощью интегрального признака для действительных $s>1$ легко получить оценку снизу

$$r_n\geqslant\frac 1{(s-1)(n+1)^{s-1}}.$$

Из этой оценки видно, что $n$-ый остаток остаток неограниченно возрастает при $s\to 1^+$. Вообще, какая тут может быть равномерная сходимость, если $\zeta(s)$ имеет полюс в точке $s=1$?

Ward в сообщении #690872 писал(а):

Ну что-то ответа на второй вопрос тут нет.

Ward в сообщении #690864 писал(а):

2) А как тогда доказать, что $\zeta(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ равномерно сходится в $\{|z|<R\}\subset D=\{\operatorname{Re}s>1\}$?

Никак. Я же сказал: не следует. Круг $\{z\in\mathbb C:|z|<R\}$ при $R>0$ вообще не содержится в $D$. Вы рисуночек сделайте, там всё сразу видно.

[Ward]

Уважаемый Someone

Someone в сообщении #690875 писал(а):

В какой именно книге? Точную ссылку дайте.

Даю Вам точную ссылку на то, где это я прочитал.
А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский "Введение в теорию чисел", Издательство Московского университета, 1984.
Глава 2, параграф 1, лемма 1 (в доказательстве).

Someone в сообщении #690875 писал(а):

Никак. Я же сказал: не следует. Круг $\{z\in\mathbb C:|z|<R\}$ при $R>0$ вообще не содержится в $D$. Вы рисуночек сделайте, там всё сразу видно.

Да-да. Извините пожалуйста. По глупости написал.
Действительно, ведь $\{z\in\mathbb{C}: |z|<R\}$ - круг радиуса $R$ c центром в нуле.
Значит, получается так: Из равномерной сходимости $\zeta(s)$ в $D=\{s\in\mathbb{C}: \operatorname{Re}s>1\}$ (если она имеется), то $\zeta(s)$ равномерно сходится в любом круге из области, т.е. в $B_{a}^R =\{z\in\mathbb{C}: |z-a|<R\}\subset D$
Так уже верно?

[SpBTimes]

Ward
Равномерной сходимости и правда не будет, будет лишь обычная, а равномерная будет при $\operatornameRes \geqslant \varalha > 0$.
Если бы была, то в любом круге (хоть замкнутом, хоть открытом), но лежащем внутри $D$, равномерность будет.

-- Пн мар 04, 2013 08:49:30 --

Someone
А что за такая компактность у тов. Шабата?

[Ward]

Уважаемый SpBTimes
Но ведь в книге, который я указал там ведь написано, что дзета-функция равномерно сходится при $\operatorname{Re}s\geqslant 1+\delta>1$
А так как $\delta>0$ можно взять произвольным то получаем, что она равномерно сходится при $\operatorname{Re}s>1$
В книге же именно так и написано. Можете посмотреть.

[ewert]

Ward в сообщении #690940 писал(а):

А так как $\varepsilon>0$ можно взять произвольным то получаем, что она равномерно сходится при $\operatorname{Re}s>1$

Нет. Из этого следует лишь голоморфность во всей области, равномерность же теряется (она ведь не является необходимой для голоморфности).

[Ward]

Уважаемый ewert
Я понимаю, что этот вопрос я уже задаю не первый раз, но я все равно не могу понять.
Смотрите: наша функция равномерно сходится при $\operatorname{Re}s\geqslant1+\varepsilon>1$ для любого $\varepsilon>0$
Что нам мешает сказать, что отсюда дзета-функция сходится равномерно при $\operatorname{Re}s>1$ так как выбор $\varepsilon>0$ у нас вообще произвольный

Цитирую Галочкина-Нестеренко-Шидовского

Цитата:

Ввиду произвольности $\delta$ последние утверждения справедливы в области $\sigma>1$

[Someone]

Ward в сообщении #690940 писал(а):

Но ведь в книге, который я указал там ведь написано, что дзета-функция равномерно сходится при $\operatorname{Re}s\geqslant 1+\delta>1$

Я посмотрел, там это написано.

Ward в сообщении #690940 писал(а):

А так как $\delta>0$ можно взять произвольным то получаем, что она равномерно сходится при $\operatorname{Re}s>1$

А вот этого там не написано.

Ward в сообщении #690940 писал(а):

В книге же именно так и написано. Можете посмотреть.

Ну, я соглашусь, что там сказано несколько неаккуратно: "Ввиду произвольности $\delta$ последние утверждения справедливы в области $\sigma>1$". Слова "последние утверждения" можно толковать неопределённо широко. На самом деле имеются в виду два утверждения, сформулированных в предыдущем предложении: "Поэтому по теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области сумма ряда (1) является аналитической, и равенство (1) можно почленно дифференцировать". Под "этой областью" понимается $\sigma>1+\delta$, а в последней фразе доказательства эти два утверждения распространяются на область $\sigma>1$.

[Ward]

Уважаемый Someone
Не знаю я уже голову поломал.
Она равномерно сходится при $\operatorname{Re}s\geqslant 1+\delta>1$
Так как $\delta$ - произвольный, то получаем то, что нам нужно.
Я уже не могу никак понять почему нельзя так сделать

(Оффтоп)

Почему для голоморфности и дифференцирования так можно сделать, а для равномерной сходимости нет?