Я сначала стал самостоятельно изучать элементарную теорию чисел, так как сильно впечатлился олимпиадниками и тоже захотел таким стать. Соответсвенно, там я многие теоремки типа малой теоремы Ферма, китайской теоремы об остатках, теоремы Вильсона и т.д. доказал самостоятельно (хотя теорему Вильсона я сразу доказать не смог и решающая идея мне пришла лишь через год довольно неожиданно с утра).
Потом я начал сидеть в интернете, узнал про многие разделы математики и забил на олимпиады, так как мне стала более интересна собственно математика - наука. Так, например, я начал изучать аксиоматическую теорию множеств, но там, как мне кажется, нет смысла что-либо самостоятельно доказывать, поскольку там вся суть в определениях, в содержании построенных конструкций. Сами же доказательства не были такими красивыми и аккуратными, как в теории чисел, и при этом часто были сложнее для понимания. Поэтому я сам почти ничего не доказывал, а в сложных случаях сначала осознавал доказательство из книжки, а потом самостоятельно воспроизводил на листочке.
И кстати там некоторые конструкции сами по себе интуитивно плохо понимаются поначалу и хочется прикрутить их к какому-то примеру, но бывает, что пример подбирается неправильно. Например, я, читая про порядковые числа, представлял себе натуральные, а потом дошёл до теоремы:
"Для любого множества 
существует взаимно однозначная функция, областью значений которой служит , а областью определения является некоторое порядковое число." И тут до меня дошло, что для натуральных чисел это слишком сильно, не может же любое множество быть конечным. Пришлось переосмысливать порядковые числа и трансфинитную индукцию заодно (я её представлял как обычную).
В общем мне кажется, что доказывать самостоятельно всё подряд не нужно. Стоит доказывать только в некоторых случаях и в тех разделах, где доказательства сами по себе очень ценны и интересны.
Однако, такими темпами я оценил, что Ленга буду изучать еще около года... как-то слишком много
В связи с длительностью процесса у меня уже скоро деперессия начнётся. Мне ещё всякие личные факторы не дают сосредоточиться на математике.
Я конечно могу себе поставить задачу, но не знаю на сколько я это правильно или не правильно сделаю. И к тому же мне толком нерешенные задачи не известны за исключением очень сложных.