2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 17:53 
Как найти период функции $f(x)=\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)+4\cos\left(\dfrac{5\pi x}{3}\right)$?

Есть только идея построить и посмотреть на график, но как можно найти решение аналитически?

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 18:07 
Аватара пользователя
champion12 в сообщении #689592 писал(а):

Да, у $\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$

Да, у $\dfrac{5\pi x}{3}$ период $2\pi$


Вы, наверное, имели в виду $\sin(\cdot)$, $\cos(\cdot)$. А то у линейной функции периода вообще нет.

У синуса будет не $2\pi$, и даже не 2, а то минимальное по модулю число, для которого при $\forall x$ верно $\sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi (x+T)}{2}\right)$
Честно раскройте разность синусов и решите уравнение относительно $T$ (подсказка: получится обыкновенная дробь, без $\pi$). Потом то же самое с косинусами сделайте.

А дальше нужно немного подумать и найти период суммы функций. Можете рисовать эти периоды на прямой, если хотите (без оси ординат).

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 18:10 
champion12 в сообщении #689592 писал(а):
Да, у ${\color{blue}[\sin?]}\dfrac{3\pi x}{2}$ период $2\pi$
Я не проверял, но я не верю, что $\sin\dfrac{3\pi\cdot 0}{2}=\sin \dfrac{3\pi \cdot (0+2\pi)}{2}$.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 20:43 
Аватара пользователя
Говорим $\sin \alpha  \cdot A + \cos \beta  \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha  \cdot \cos \gamma  + \cos \beta  \cdot \sin \gamma } \right)$...

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 21:19 
Утундрий в сообщении #689671 писал(а):
Говорим $\sin \alpha \cdot A + \cos \beta \cdot B$, подразумеваем $C \cdot \left( {\sin \alpha \cdot \cos \gamma + \cos \beta \cdot \sin \gamma } \right)$...
И чо?

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 21:24 
Аватара пользователя
Алексей К. в сообщении #689698 писал(а):
И чо?

А ежели не помогает, то надыть попробовать что-то другое. Этих тождеств так много и возможно придётся перепробовать их все, но куда спешить...

 
 
 
 Рассада, например.
Сообщение01.03.2013, 22:21 
Утундрий в сообщении #689705 писал(а):
но куда спешить.
Весна наступила, есть куда спешить. Математику сейчас надо делать быстро и тупо. Типа, для начала, тупо сыскать правильные периоды.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 22:37 
Аватара пользователя
Алексей К. в сообщении #689755 писал(а):
Математику сейчас надо делать быстро и тупо

Ну, тогда без построения графика никак не обойтись. Тем более, что современное развитие компьютерной технологии изображения на экране точечками позволяет быстро и тупо (как и заказывали) разрешить сию проблему т.с. фундаментально. Изобразив таким образом (см. ниже) $f(x/ \pi)$ уже можно вполне предметно размышлять на тему
$$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$


У вас нет доступа для просмотра вложений в этом сообщении.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 22:38 
Какая-то боль.

$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого, аналогично второго слагаемого. Период суммы связан с тем, что начинается на Н, а кончается на К.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:16 
devgen в сообщении #689776 писал(а):
$x \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
Так находим период первого
А я бы так искал: $T_1 \dfrac{3\pi}{2} = 2\pi$
А Наименьшее Общее Кратное на "е" кончается.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:25 
Аватара пользователя
А я бы ещё раз обратил внимание, что задача-то по сути на вычисление
$$\frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{1}{6}$$

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:47 
Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

А как узнали, что $$\frac{3}{2}x = \frac{5}{3}x + 2n$$?

Получится ли что-то с разностью синусов или нет?

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:50 
Аватара пользователя
champion12 в сообщении #689839 писал(а):
Спасибо! То есть период, вроде как $\dfrac{\pi}{12}$?

:shock: Ну вот как можно было так понять мои слова?

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:51 
а как найти период функции $f(z)=\sum_{k=1}^Nc_ke^{\omega_k z}$, где $\omega_j$ попартно различны ? ($ z,\omega_j,c_j\in\mathbb{C}$)

уравнение $f(z+T)=f(z)$ приводит к линейной системе $f^{(n)}(T)=f^{(n)}(0),\quad n=0,\ldots, N-1$ относительно $c_ke^{\omega_k T}$, которая однозначно разрешима (определитель Вандермонда). Получится система уравнений вида $c_ke^{\omega_k T}=w_k$ относительно $T$. Период $T$, если он существует, является решением этой системы. Если данная система не имеет решения $T$ то функция непериодична.

 
 
 
 Re: Период хитрой функции
Сообщение01.03.2013, 23:52 
Алексей К.

(Оффтоп)

Я же не зря писал с большой буквы, имел ввиду НОК


champion12
Как он может быть меньше периода каждого слагаемого?

 
 
 [ Сообщений: 60 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group