Для чего в физике вводится понятие псевдовектора

[casualvisitor]

Oleg Zubelevich в сообщении #682519 писал(а):

casualvisitor в сообщении #682513 писал(а):

Представление о том, что вектор - это набор чисел, преобразуемых по какому-то закону при переходе к другому базису, достаточно и даже удобно для физиков, но до определенных пределов

если вы можете дать определение псевдотензора не связанное с системами координат --welcome

Пожалуйста (ограничиваюсь псевдовекторами):

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $L$ - линейное пространство и $F$ - функция, определенная на множестве всех базисов в $L$ и принимающая значения в $L$.

Если функция $F$ является постоянной (т.е. ставящей один и тот же вектор из $L$ в соответствие всем базисам в $L$), то она называется полярным вектором. Допуская вольность речи, мы также называем полярным вектором тот вектор в $L$, который является единственным значением функции $F$.

Если функция $F$ принимает одно и то же значение на всех базисах одинаковой ориентации, а ее значения на базисах разной ориентации являются противоположными друг другу векторами, то функция $F$ называется аксиальным вектором. Допуская вольность речи, мы также называем аксиальным вектором каждый из двух (противоположных друг другу) векторов в $L$, которые являются значениями функции $F$.

Без упоминания координат и формул их преобразования я, как видите, обошелся. А можно изгнать "системы координат" из этого определения полностью, рассматривая функцию, определенную не на множестве всех базисов, а на (двухэлементном) множестве ориентаций линейного пространства.

[Oleg Zubelevich]

casualvisitor в сообщении #682939 писал(а):

Без упоминания координат и формул их преобразования я, как видите, обошелся

боюсь, Вам только так кажется

casualvisitor в сообщении #682939 писал(а):

А можно изгнать "системы координат" из этого определения полностью, рассматривая функцию, определенную не на множестве всех базисов, а на (двухэлементном) множестве ориентаций линейного пространства.

а ориентации определяются через базисы и определители матриц перехода

[casualvisitor]

Oleg Zubelevich в сообщении #682942 писал(а):

casualvisitor в сообщении #682939 писал(а):

Без упоминания координат и формул их преобразования я, как видите, обошелся

боюсь, Вам только так кажется

Конечно, нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #682942 писал(а):

casualvisitor в сообщении #682939 писал(а):

А можно изгнать "системы координат" из этого определения полностью, рассматривая функцию, определенную не на множестве всех базисов, а на (двухэлементном) множестве ориентаций линейного пространства.

а ориентации определяются через базисы и определители матриц перехода

Конечно, да.

То, что из такого определения были бы изгнаны только явные упоминания о базисах, очевидно. А вот вопрос о возможности изгнания упоминаний об ориентациях даже ставить нельзя. Просто по существу определяемых понятий.

-- 12.02.2013, 05:26 --

А польза от приведенного определения такая:

две функции, определенные на одном и том же множестве и принимающие значения в одном и том же векторном пространстве, можно скаладывать естественным и обычным образом. В частности, ничто не мешает складывать полярные векторы с аксиальными (функция-сумма при этом не будет ни полярным, ни аксиальным вектором, но ... мы ничего и не обещали). Таким образом, искомое благословение от математиков физики-составители V-A - лагранжиана имеют.

[Oleg Zubelevich]

casualvisitor в сообщении #682948 писал(а):

В частности, ничто не мешает складывать полярные векторы с аксиальными (функция-сумма при этом не будет ни полярным, ни аксиальным вектором, но ... мы ничего и не обещали). Таким образом, искомое благословение от математиков физики-составители V-A - лагранжиана имеют.

физикам нужно не благословение от математиков, а инвариантные объекты, потому, что только они имеют физический смысл. что касается складывания полярного и аксиального векторов, то там выше по ветке уже было разъяснено, что такого складывания не возникает при правилиьной постановке вопрса

[ИгорЪ]

arseniiv в сообщении #682881 писал(а):

Довольно часто какая-то функция от чего-то ненулевого даёт ноль — и что?

Речь то о том что функция для одного обращается в ноль а для другого нет.

-- Вт фев 12, 2013 19:31:58 --

casualvisitor
Как будете длину вектора считать например для V-A

[Утундрий]

ИгорЪ, а как вы относитесь к дискриминантному тензору?

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #683026 писал(а):

ИгорЪ, а как вы относитесь к дискриминантному тензору?

Я стесняюсь спросить, это что абсолютно антисимм. символ?

[Munin]

(Оффтоп)

Дискриминанты, антисиммиты - куда мы катимся?..

[Утундрий]

ИгорЪ
Он-он.

Вот, предположим $u^\mu + \varepsilon ^{\mu \nu \sigma } \left( {v_\nu w_\sigma - v_\sigma w_\nu } \right)$ (пусть $n=3$) оно как, отторжениёв не вызывает?

[ИгорЪ]

Вектор минус удвоенное(!?) векторное произведение $u-2[v,w]$. Смотря что делать будем. Пока всё ОК.

[Утундрий]

Да неважно какой там коэффициент, вектора-то произвольные. А дальше давайте сохраним баланс индексов, но нарушим чётность. Что для этого в формУлу нужно впихнуть?

[ИгорЪ]

Дык уже вид $V-A$

[Утундрий]

Ч то, уже? А я ещё хотел туды псевдоскаляр какой-нибудь забабахать... Так что ж вы мне голову морочите! Разве вон та выше записанная фигня - не тензор?

[ИгорЪ]

Если тензор равен нулю в некоторых координатах то он равен нулю в любых. Эта фигня может нарушить это правило. Потому строго говоря это не тензор.

[Утундрий]

И всё-таки это тензор, потому как образован посредством "четырёх арифметических операций сложения" и одного свёртывания, которые тензорность не нарушают. Другое дело, что это не ваше $V - A$. А для того, чтобы оно стало вашим $V - A$ тудыть таки ещё надобно псевдоскаляр засунуть.