Классы эквивалентности

[Nikolai Moskvitin]

Aritaborian в сообщении #681844 писал(а):

Чтобы понять, где вы ошиблись, попробуйте явно выписать все эти отношения.

Может быть, каждая пара элементов имеет несколько вариантов отношений между элементами в ней? Тут подойдёт какая-нибудь комбинаторная формула для размещения с повторениями? Повторяться будут симметричные отношения, например. $(1,1)$ может быть только одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, так же, как и $(2,2)$ и $(3,3)$. Остальные могут обладать либо только одним из этих свойств, либо только двумя, либо всеми тремя. Но считать не решаюсь, боюсь, как бы не упустить повторения ещё какого-нибудь свойства.

[arseniiv]

Давайте ещё раз вспомним, что такое отношение. Это подмножество $A\times B$. Само $A\times B$, которое в данном случае равно $\{1,2,3\}\times\{1,2,3\}$, вы уже выписали. Какие у него есть подмножества и сколько их?

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #681879 писал(а):

Давайте ещё раз вспомним, что такое отношение.

Чужими словами: суждение об элементах множества, зависящее от двух переменных и могущее быть истинным и ложным. Помню пример: $x_1=x_2$ может быть истинным и ложным суждением.

[gris]

Кстати, а что Вы считали? Число отношений эквивалентности на множестве из трёх элементов или число любых отношений?
Число отношений эквивалентности проще посчитать, как число различных разбиений множества на непересекающиеся подмножества, а не связываться с транзитивностью и проч.

[arseniiv]

Nikolai Moskvitin, я немного дописал в том сообщении. Теперь там же и ответ. Пересмотрите его.

И не надо ни про какие свойства! Свойства пар со свойствами отношений не имеют ничего общего.

А вы рисовали отношения? Каждое отношение между $A$ и $B$ можно отобразить с помощью ориентированного графа: вершины — это элементы этих множеств, а дуга между $a$ и $b$ есть тогда и только тогда, когда $(a, b)$ принадлежит отношению.

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #681879 писал(а):

Какие у него есть подмножества и сколько их?

_________________

Те 9, которые написаны в сообщении post681575.html#p681575
и ещё такие, как {(1,2),(2,3)}, {(1,2),(2,3),(1,3)}, и т.д. Число подмножеств множества из n элементов вроде считается равным $2^n$. Если $n=9$, то результат будет, мягко говоря, отличаться от 9. :) Но ведь будут повторения...

[arseniiv]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681894 писал(а):

Те 9, которые написаны в сообщении post681575.html#p681575

Ну, лично я там вижу только элементы, а подмножества — не очень.

Nikolai Moskvitin в сообщении #681894 писал(а):

Если $n=9$, то результат будет, мягко говоря, отличаться от 9. :)

Ага. Подмножеств будет 512, но выписать их всё равно можно. Но да, лучше не стоит.

Nikolai Moskvitin в сообщении #681894 писал(а):

Но ведь будут повторения...

Повторения чего?

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #681912 писал(а):

Повторения чего?

хотел сказать, что некоторые отношения могут совпадать. Но всё, отказываюсь от старого понимания отношений! Повторения здесь ни при чём. Я понял, что отношение и его свойство нельзя отождествлять.