Классы эквивалентности

[arseniiv]

(Оффтоп)

Лучше всё-таки \times.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681122 писал(а):

Дело в том, что определение бинарного отношения в учебнике непосредственно связано с декартовым произведением, а определение декартова произведения связано с упорядоченными парами. Поэтому я пока не понимаю.

Т.е. в учебнике написано отличное от вашего текущего понимания, но вы не торопитесь приводить свое понимание к соответствию с написанным в учебнике. Плохо.

Цитата:

Для любых двух множеств $X$ и $Y$ всякое подмножество $\omega\subset X\times Y$ называется бинарным отношением между $X$ и $Y$ (или просто отношением на $X$, если $Y=X$). Для упорядоченной пары $(x,y)\in\omega$ используют обозначение $x\omega y$ и говорят, что $x$ находится в отношении $\omega$ к $y$.

Итак, вот множество $X=\{1,2,3\},\,Y=X$. Напишите явно множество $X\times Y$.

[AGu]

Цитата:

Для упорядоченной пары $(x,y)\in\omega$ используют обозначение $x\omega y$ и говорят, что $x$ находится в отношении $\omega$ к $y$.

Очень коряво написано! Можно подумать, что $x\,\omega\,y$ -- это обозначение пары. А насчет "говорят" -- напрочь непонятно, зачем и когда это говорят.

P.S. Для пытливых умов: на самом деле $x\,\omega\,y$ -- это обозначение не "пары" и не "для пары", а обозначение утверждения о том, что пара $(x,y)$ принадлежит множеству $\omega$.

[Cash]

Nikolai Moskvitin, почитайте здесь
Отношения эквивалентности и разбиения множеств
Вообще, в самостоятельных занятиях осмелюсь посоветовать Вам именно популярную литературу для старшеклассников, благо ее всегда издавали в достаточном объеме. Многое есть в сети. Квант, серии "Библиотечка Кванта", "Популярные лекции по математике" и пр. А когда укрепите базу, то может быть и подойдете к вузовским учебникам.

(Оффтоп)

Смысла, правда, я в этом не вижу. Я и в модное сейчас дистанционное обучение не верю, а уж в самостоятельное... Про Рамануджана в курсе.

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #681145 писал(а):

Напишите явно множество $X\times Y$

Как я понял, получается следующее:$ (1,2),(2,3),(1,3),(2,1),(3,2),(3,1), (1,1),(2,2),(3,3)$. Но это декартов квадрат. Как я понимаю, "декартова квадратного корня" не существует.

[Cash]

Еще 3-х элементов не хватает

[Nikolai Moskvitin]

Cash в сообщении #681578 писал(а):

Еще 3-х элементов не хватает

Добавил!

-- 08.02.2013, 19:37 --

Cash, прочитал статью! Все примеры разобрал, упражнения решил сделать потом. Сейчас же два вопроса:
1)Возьмём, например, два таких класса: окружности, пересекающие данную и числа, являющееся составными. Можно ли их вместе считать доказательством независимости рефлексивности-- как свойства отношения -- от транзитивности и симметричности?
2)Можно ли применять понятие "произведение" к классам, не являющимся множествами чисел?

[Aritaborian]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681580 писал(а):

Можно ли применять понятие "произведение" к классам, не являющимся множествами чисел?

Что вам мешает выписать декартово произведение множеств
$A=\{\text{апельсин, матрёшка, Большой адронный коллайдер}\}$
и
$B=\{\text{квадрат, Одесса, снежинка Коха}\}$?

[Cash]

Цитата:

1)Возьмём, например, два таких класса: окружности, пересекающие данную и числа, являющееся составными. Можно ли их вместе считать доказательством независимости рефлексивности-- как свойства отношения -- от транзитивности и симметричности

Вот мама корову доит и бегемот летит. Можно ли их вместе считать доказательством независимости прелюбодеяния от любопытства и обжорства?

Отношения задаются не на элементах множества, а на элементах пар из множества. Ну вот у нас есть множество $X$ - любой природы. Вы строите $X\times X$ - множество всех пар. И в этом множестве, выделяете некоторое подмножество. Любым образом. Этот ваш выбор и задает отношение. Вы можете обозвать его как угодно, например: подходит. Как теперь определить, элемент $x_1 \in X$ подходит элементу $x_2 \in X$? Очень просто. Если пара $(x_1, x_2)$ попала в выделенное подмножество - значит подходит. Не попала - не подходит. И поскольку пары $(x_1, x_2)$ и $(x_2, x_1)$ - разные, то необязательно, если $x_1$ подходит $x_2$, то и $x_2$ подходит $x_1$. И пару $(x_1, x_1)$ вы можете не выделить. А значит, $x_1$ не подходит $x_1$

[Nikolai Moskvitin]

Cash в сообщении #681747 писал(а):

Вот мама корову доит и бегемот летит. Можно ли их вместе считать доказательством независимости прелюбодеяния от любопытства и обжорства?

Cash в сообщении #681747 писал(а):

Отношения задаются не на элементах множества, а на элементах пар из множества.

Учитывая замечания, поясню: отношение между двумя окружностями пересечения рефлексивно, симметрично, но не транзитивно, а отношение делимости между натуральными(целыми числами) рефлексивно, транзитивно, но не симметрично. А вот пример отношения рефлексивного, но не симметричного и не транзитивного не смог придумать.

[Cash]

Вот вы же выписали множество всех пар для 3-х элементного множества. Так и дёргайте оттуда любые отношения, какие вам угодно...

-- Сб фев 09, 2013 11:09:49 --

И вот такой простенький вопрос на понимание темы. Сколько всего существует различных отношений на множестве из трёх элементов?

[Nikolai Moskvitin]

Cash в сообщении #681761 писал(а):

И вот такой простенький вопрос на понимание темы. Сколько всего существует различных отношений на множестве из трёх элементов?

Девять!

[gris]

Отношения на конечном множестве из $n$ элементов можно представлять себе в виде матрицы размером $n\times n$, элементы которой равны нулям или единицам по естественному правилу. Для рефлексивных отношений единицами заполнена вся главная диагональ, для симметричных — матрица симметрична относительно главной диагонали, для транзитивных тоже есть свойство.
Примеры легко строить, как и посчитать число всех различных матриц

[Cash]

(Оффтоп)

Nikolai Moskvitin в сообщении #681769 писал(а):

Cash в сообщении #681761 писал(а):

И вот такой простенький вопрос на понимание темы. Сколько всего существует различных отношений на множестве из трёх элементов?

Девять!

Печально... Я, конечно, не сильный диагност, но мне кажется, что вы просто не готовы к этому уровню абстракции. Предлагаю вам пока отложить алгебру в сторону и обратить свой взор на вещи более осязаемые. Например, на элементарную комбинаторику. Здесь те же множества, но их уже можно щупать. Куча литературы, бесчисленное количество разнообразных задач, от простых до весьма нетривиальных. И очень подходит для самостоятельного обучения и самопроверки: решили задачу - поняли, не решили - думаем дальше... А набьете руку здесь - глядишь и на вещи, поднятые в этой теме, свежий взгляд появится.

[Aritaborian]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681769 писал(а):

Девять!

Чтобы понять, где вы ошиблись, попробуйте явно выписать все эти отношения.