Классы эквивалентности

[Nikolai Moskvitin]

У меня три вопроса:
1) Почему все элементы в X принадлежат определённым классам эквивалентности? Поясню: следующую теорему знаю--
"Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества X в том смысле, что X является объединением непересекающихся подмножеств". Видимо, доказательство именно в самом начале всё же недопонял. Всё остальное в этом доказательстве вроде понятно.
2)Может ли быть в классе эквивалентности один элемент? Сколько вообще может быть элементов в нём?
3)Можно ли определить число классов эквивалентности в множестве?

[Esp_]

1) Это не теорема :) Это очевидно. У вас есть функция, которая говорит равны ли два элемента (в плане их эквивалентности ) или нет. Очевидно, они либо попадат в один класс, либо в разные классы. третьего не дано.
2) конечно, может. В общем случае их, разумеется, бесконечно много.
3) Можно. зависит от множества и функции эквивалентности.

[Aritaborian]

1) Что такое разбиение, как вы думаете?
2) В классе эквивалентности может быть от $1$ до $|M|$ элементов, где $|M|$ — мощность нашего множества.
3) Разумеется, можно. Но нужно рассматривать конкретную задачу.
Nikolai Moskvitin, советую вам не только теорию читать, но и решать задачки. Многие вопросы отвалятся сами.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #680301 писал(а):

1) Почему все элементы в X принадлежат определённым классам эквивалентности?

С каждым элементом $x$ связывается его класс эквивалентности $[x]$, в который входят все элементы, эквивалентные $x$. Так как $x$ эквивалентен самому себе, то как минимум $x\in[x]$.

[Nikolai Moskvitin]

Начал решать упражнения из учебника Кострикина после главы 6. С первым вроде справился, но возник вопрос: поясните разницу между бинарным отношением и биективным соответствием (я её очень смутно понимаю), и всякое ли биективное соответствие на множестве $X$ является отношением эквивалентности?

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681085 писал(а):

поясните разницу между бинарным отношением и биективным соответствием

Бинарное отношение не является отображением. Вопрос из серии "какая разница между подъездом и подгонкой?"

Nikolai Moskvitin в сообщении #681085 писал(а):

всякое ли биективное соответствие на множестве $X$ является отношением эквивалентности?

Нет, есть лишь одно "биективное соответствие" на $X$, которое являлось бы отношением эквивалентности.

Nikolai Moskvitin, вам надо набирать в голову модельных примеров. Прочитали определение — посмотрели на примеры сразу за ним, проверили, что они удовлетворяют определению. Если примеров не дали — стараетесь придумать сами. Вы знаете хоть какое-нибудь бинарное отношение на, не знаю, $\mathbb Z$? Или там на $\{1,2,3\}$?

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #681102 писал(а):

Вы знаете хоть какое-нибудь бинарное отношение на, не знаю, $\mathbb Z$? Или там на $\{1,2,3\}$?

Пока я знаю только два бинарных отношения: отношение эквивалентности и отношение упорядочения, причём именно на множестве X. Конкретные примеры есть в задачах. Но их я решаю долго :)

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #681108 писал(а):

Пока я знаю только два бинарных отношения: отношение эквивалентности и отношение упорядочения,

Отношений эквивалентности, как и отношений упорядочения, много. Это классы отношений, а не имена собственные.

Ладно, начнем с начала. Вот вам множество $X=\{1,2,3\}$. Придумайте какое-нибудь бинарное отношение на нем.

[Nikolai Moskvitin]

Ну, например, пойдёт такое? $:) Или всё-таки $(1,2)$ или (2,3)--это упорядоченные пары в $X$. Просто по-моему я именно этого и не понимаю, согласно учебнику выходит последнее, хотя интуитивно я влекусь к первому.
Если $ не годится, тогда $<$

[Joker_vD]

$+1$ — что бы это могло значить?

Nikolai Moskvitin в сообщении #681112 писал(а):

Или всё-таки $(1,2)$ или (2,3)--это упорядоченные пары в $X$.

В $X$ нету упорядоченных пар. Там есть три числа: единица, двойка и тройка, и больше ничего.

Пусть $R=\{(3,1)\}$ — будет ли это бинарным отношением на $X$?

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #681115 писал(а):

Пусть $R=\{(3,1)\}$ — будет ли это бинарным отношением на $X$?

Если я правильно понимаю слово "отношение", то нет. Для меня "отношение"- что-то вроде "знак связи". Дело в том, что определение бинарного отношения в учебнике непосредственно связано с декартовым произведением, а определение декартова произведения связано с упорядоченными парами. Поэтому я пока не понимаю. Как множество X представить в виде декартова произведения?

[arseniiv]

Может, следует сменить учебник?

[Nikolai Moskvitin]

arseniiv в сообщении #681125 писал(а):

Может, следует сменить учебник?

Отображения в этом учебнике вроде очень неплохо даются. Попробую взять одну из посоветованных в этой теме книжек.

[arseniiv]

Трудно не заметить, что вы за последнее время неоднократно спотыкались на простых вещах (и на отображениях — тоже). Может, лучше было бы их изучать не по тому учебнику алгебры, а по какой-то другой книге; возможно, не связанной с алгеброй.

[Esp_]

Цитата:

Как множество X представить в виде декартова произведения?

подсказка
$X \cdot X = { (1,1), (1,2),.... }$