Унитарная группа

[g______d]

type2b в сообщении #671790 писал(а):

короче говоря,

$$U(n)\sim \left(SU(n)\times U(1)\right)/\mathbb{Z}_{n}\,,$$

поскольку центр $SU(n)$ есть $\mathbb{Z}_n$.

Пусть $n=2$. Тогда центр $SU(2)$ --- это $\{-I,I\}$. $SU(2)/\{-I;I\}\sim SO(3)$. Таким образом, в левой части $U(2)$, в правой $SO(3)\times U(1)$. Давайте посмотрим на их фундаментальные группы. $SO(3)$ гомеоморфна $\mathbb RP^3$, поэтому $\pi_1(SO(3))=\mathbb Z/2\mathbb Z$. $\pi_1(U(1))=\pi_1(U(2))=\mathbb Z$. Таким образом, у левой части фундаментальная группа $\mathbb Z$, а у правой $(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times \mathbb Z$, и они даже не гомеоморфны.

[type2b]

g______d в сообщении #671887 писал(а):

Таким образом, в левой части $U(2)$, в правой $SO(3)\times U(1)$

Нет, под $\mathbb{Z}_n$ я имел в виду подгруппу $\left(1\cdot \exp(2\pi i k/n), \exp(-2\pi i k/n)\right)$, т.е. ядро $SU(n)\times U(1)\rightarrow U(n)$.

apriv в сообщении #671804 писал(а):

Ничего подобного.

А почему это неверно?

[g______d]

type2b в сообщении #672132 писал(а):

Нет, под $\mathbb{Z}_n$ я имел в виду подгруппу $\left(1\cdot \exp(2\pi i k/n), \exp(-2\pi i k/n)\right)$, т.е. ядро $SU(n)\times U(1)\rightarrow U(n)$.

А, понял. Тогда же это просто теорема о гомоморфизме?

[type2b]

да, конечно