Унитарная группа

[lucien]

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

[g______d]

Известно, что центр $U(n)$ --- это скалярные матрицы $e^{i\varphi}I$. Если группа раскладывается в произведение, то левый множитель лежит в центре (т. к. со всеми коммутирует) и, следовательно, с ним совпадает (т. к. центр изоморфен $U(1)$ и в $U(1)$ нет подгрупп, изоморфных $U(1)$).

Следовательно, любой элемент из $U(n)$ должен однозначно представляться в виде произведения элемента из $SU(n)$ и элемента из центра. Но это не так: если $u=cv$, $\det v=1$, $c=e^{i\varphi}I$, то $u=(c e^{2i\pi/n}I)(e^{-2i\pi/n}Iv)$; ясно, что это тоже представление того же типа.

Я, правда, здесь использовал, что $SU(n)$ стандартным образом вложена в $U(n)$.

[lucien]

g______d в сообщении #671514 писал(а):

Известно, что центр $U(n)$ --- это скалярные матрицы $e^{i\varphi}I$. Следовательно, любой элемент из $U(n)$ должен однозначно представляться в виде произведения элемента из $SU(n)$ и элемента из центра. Но это не так...

Что написанно дальше мне не понятно. Можно по проще?

[g______d]

Дальше-то что непонятно? Взяли элемент $u\in U(n)$, представили его в виде $u=cv$, где $c$ лежит в центре $U(n)$, а $v\in SU(n)$. Потом выяснили, что его же можно представить другим способом, заменив $c$ на $e^{2i\pi/n}c$, а $v$ на $e^{-2i\pi/n}v$. Эта замена не изменит определителя $v$. Получили, что для $u$ имеют место два разных представления, что противоречит определению прямого произведения.

-- 14.01.2013, 16:49 --

Вообще говоря, это еще не доказательство отсутствия изоморфизма групп. Может быть, $SU(n)$ можно как-то по-другому вложить в $U(n)$.

[lucien]

Это означает, что $U(n)\supset U(1)\times SU(n)$?

[apriv]

lucien в сообщении #671489 писал(а):

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

Нет, $U(n)$ изоморфна полупрямому произведению $U(1)$ и $SU(n)$.

[lucien]

А что такое "полупрямое произведение"?

[lek]

apriv в сообщении #671541 писал(а):

lucien в сообщении #671489 писал(а):

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

Нет, $U(n)$ изоморфна полупрямому произведению $U(1)$ и $SU(n)$.

Почему полупрямому - прямому. Разве элементы этих двух подгрупп в $U(n)$ не коммутируют?

[g______d]

lek в сообщении #671619 писал(а):

Почему полупрямому - прямому. Разве элементы этих двух подгрупп не коммутируют?

Нет. Полупрямому она изоморфна, если вкладывать $U(1)$ в качестве подгруппы не как центр (скалярные матрицы), а как матрицы вида $diag(e^{i\varphi},1,\ldots,1)$. Такие матрицы не коммутируют с элементами $SU(n)$.

[lek]

Если не как центр, то да. Но эдак можно (почти) любое прямое произведение "испохабить" Можно и дальше пойти - найти такую, изоморфную $U(1)$ подгруппу в $U(n)$ (порожденную, например, генератором $SU(n)$), относительно которой $U(n)$ уже и полупрямым произведением не будет... Если же не делать подобных "уточнений", то утверждение ТС

lucien в сообщении #671489 писал(а):

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

совершенно верно (и без всяких оговорок, поскольку речь идет об изоморфизме)...

[apriv]

lek в сообщении #671625 писал(а):

Если же не делать подобных "уточнений", то утверждение ТС

lucien в сообщении #671489 писал(а):

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

совершенно верно...

Если $U(1)$ вкладывать как центр группы $U(n)$, то это тем более не может быть прямым произведением, поскольку подгруппа $SU(n)$ имеет с этим центром нетривиальное пересечение при $n\geq 2$.

[g______d]

lek в сообщении #671625 писал(а):

Если не как центр, то да. Но эдак можно (почти) любое прямое произведение "испохабить" Можно и дальше пойти - найти такую, изоморфную $U(1)$ подгруппу в $U(n)$ (порожденную, например, генератором $SU(n)$), относительно которой $U(n)$ уже и полупрямым произведением не будет... Если же не делать подобных (дополнительных) "уточнений", то утверждение ТС

lucien в сообщении #671489 писал(а):

Я правильно понимаю, что группа $U(n)$ изоморфна группе $U(1)\times SU(n)$?

совершенно верно...

Если $G=G_1\times G_2$, то любой элемент $G$ однозначно представляется в виде произведения $g=g_1g_2$, $g_i\in G_i$. Если в качестве $G_1$ взять подгруппу
$\{\diag(e^{i\varphi},\ldots,e^{i\varphi})\}\subset U(n)$, а в качестве $G_2$ взять $SU(n)\subset U(n)$, то это неверно, представление неоднозначно, см. выше.

-- 14.01.2013, 20:34 --

apriv в сообщении #671626 писал(а):

Если $U(1)$ вкладывать как центр группы $U(n)$, то это тем более не может быть прямым произведением, поскольку подгруппа $SU(n)$ имеет с этим центром нетривиальное пересечение при $n\geq 2$.

Да, так даже проще, в нем как раз лежат те самые матрицы вида $e^{2i\pi/n}I$.

[lek]

Понял. Не обратил внимания на центральные дискретные подгруппы (т.е. можно говорить лишь о локальном изоморфизме). Издержки физического образования...

[type2b]

короче говоря,

$$U(n)\sim \left(SU(n)\times U(1)\right)/\mathbb{Z}_{n}\,,$$

поскольку центр $SU(n)$ есть $\mathbb{Z}_n$.

[apriv]

type2b в сообщении #671790 писал(а):

короче говоря,

$$U(n)\sim \left(SU(n)\times U(1)\right)/\mathbb{Z}_{n}\,,$$

поскольку центр $SU(n)$ есть $\mathbb{Z}_n$.

Ничего подобного.