2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Распределение случайных величин
Сообщение26.12.2012, 14:55 
Аватара пользователя
Добрый день,
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Случайная величина $X$ подчинена закону распределения, плотность которого задана графически. Найдите: 1) коэффициент $a$; 2) функции $f(x), F(x)$; 3) $M(x), D(x)$.
Изображение

Я начал делать так:
Плотность имеет вид $
f(x)=\begin{cases}
a-\frac {ax} {2},&\text{если $x<1$;}\\
\frac {ax} {2},&\text{если $x\geq1$;}
\end{cases}
$

Найдем коэффициент $a$ по формуле:
$1=\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) dx = \int\limits_{- \infty}^{1} a-\frac {ax} {2} dx + \int\limits_{1}^{+ \infty} \frac {ax} {2} dx = a$

Подскажите, пожалуйста, правильно это или нет?

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение26.12.2012, 19:13 
Аватара пользователя
Чего это пределы интегрирования бесконечные?

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение26.12.2012, 20:01 
Аватара пользователя
А какие должны быть?

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение26.12.2012, 20:10 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в Карантин.

Запишите условие задачи и решение в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$ (график из условия можно оставить картинкой).
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение27.12.2012, 17:26 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение27.12.2012, 19:31 
Аватара пользователя
Tigris в сообщении #664130 писал(а):
А какие должны быть?


Давайте возьмём $x=-2$ и найдём значение плотности $f(-2)$:
а) по графику,
б) по записанной Вами формуле плотности:

Tigris в сообщении #663995 писал(а):
Плотность имеет вид $
f(x)=\begin{cases}
a-\frac {ax} {2},&\text{если $x<1$;}\\
\frac {ax} {2},&\text{если $x\geq1$;}
\end{cases}
$


Сравним и сделаем выводы.

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение27.12.2012, 20:26 
Аватара пользователя
--mS-- в сообщении #664558 писал(а):
Давайте возьмём $x=-2$ и найдём значение плотности $f(-2)$:
а) по графику,

График я вообще не могу понять... Поэтому затрудняюсь ответить, и пример не могу понять..

--mS-- в сообщении #664558 писал(а):
б) по записанной Вами формуле плотности:

$f(-2)=2a$

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение27.12.2012, 22:17 
Аватара пользователя
Tigris в сообщении #664592 писал(а):
График я вообще не могу понять... Поэтому затрудняюсь ответить, и пример не могу понять..

Что конкретно непонятно в графике? Точку $x=-2$ на оси ОХ найти можете? Значение функции в этой точке каково?

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 03:17 
Аватара пользователя
--mS-- в сообщении #664640 писал(а):
Что конкретно непонятно в графике? Точку $x=-2$ на оси ОХ найти можете? Значение функции в этой точке каково?


Либо 0, либо ее там вообще нет. Вот это я и не понимаю. Какие значения функция принимает левее 0 и правее 2. Там или 0, или ее там вообще нет, или по заданию мне показали только кусок от 0 до 2...
Я сейчас учусь заочно.. На дневном теория вероятностей была 6 лет назад, сейчас трудно очень все это вспоминается, поэтому прошу не судить строго.

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 11:13 
Аватара пользователя
Tigris в сообщении #664702 писал(а):
Либо 0, либо ее там вообще нет. Вот это я и не понимаю. Какие значения функция принимает левее 0 и правее 2. Там или 0, или ее там вообще нет, или по заданию мне показали только кусок от 0 до 2...

Ноль, конечно. Она просто склеилась с осью, поэтому Вы её и не видите. А записанная функция у Вас даёт $2a$. Что это значит? Надо запись плотности исправлять: не при всех $x<1$ она у Вас равна первой строчке, а только при $0\leqslant x<1$, а при $x<0$ она равна нулю. То же самое с областью $x\geqslant 1$. Вот области интегрирования и исправятся, верно?

Кроме того, полезно было бы вспомнить геометрический смысл интеграла и найти площадь под графиком функции безо всяких интегралов.

Пересчитайте так и эдак и скажите, какое получилось $a$.

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 17:36 
Аватара пользователя
$1=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx=\int\limits_{-\infty }^{0}{0dx+}\int\limits_{0}^{1}{(a-\frac{ax}{2})dx+\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax}{2}dx+\int\limits_{2}^{+\infty }{0dx}=a-}}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{ax}{2}dx+\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax}{2}dx}}= \\ 
 & =a-\frac{a}{4}+a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{2}
$

$a=\frac{2}{3}$

Тогда так получается?

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 17:47 
Аватара пользователя
Так.

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 18:35 
Аватара пользователя
--mS--, спасибо за помощь.
А как тогда $F(x)$ найти?
$f(x)=\begin{cases}
   0,&\text{если $x<0$;} \\
  \frac{2-x}{3},&\text{если $0\le x<1 $;}\\
  \frac{x}{3},&\text{если $1\le x<2 $;}\\
  0,&\text{если $x\ge 2$;}
\end{cases} $

Так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2-x}{3}}dx$

Или так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy$

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 18:57 
Аватара пользователя
Tigris в сообщении #664851 писал(а):
Или так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy$

Разумеется, так. А вот для $x\in[1,\,2]$ и для $x>2$ уже не так, как Вы записали. По определению, $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(y)\,dy$, вот и разбивайте интеграл на части.

 
 
 
 Re: Распределение случайных величин
Сообщение28.12.2012, 19:53 
Аватара пользователя
Получилось следующее:
Если $x<0$, то $F(x)=0$.

Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy=\frac{2}{3}-\int\limits_{0}^{x}{\frac{y}{3}}dy=\frac{2}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{6}=\frac{4-{{x}^{2}}}{6}$.

Если $1\le x\le 2$, то $F(x)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{y}{3}}dy=\frac{{{x}^{2}}}{6}-\frac{1}{6}=\frac{{{x}^{2}}-1}{6}$.

Если $x>2$, то $F(x)=0$

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group